2011 高考数学第 21 题答案解析

21．（14分）（2011•陕西）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上， $\mathrm{f}(1)=0$ ，导函数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) =\frac{1}{\mathrm{x}}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ ．
（I）求 g （ x ）的单调区间和最小值；
（II）讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系；
（III）是否存在 $x_{0}>0$ ，使得 $\left|g(x)-g\left(x_{0}\right)\right|<\frac{1}{x}$ 对任意 $x>0$ 成立？若存在，求出 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在请说明理由．