在三棱住 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{1}{24}$

## 【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为 1 的

等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，底面积为 $\frac{1}{2}$
如图，因为 $A A_{1} / / P N$，故 $A A_{1} / /$ 面 $P M N$，
故三棱锥 $P-A_{1} M N$ 与三棱锥 $P-A M N$ 体积相等，
三棱锥 $P-A M N$ 的底面积是三棱锥底面积的 $\frac{1}{4}$，高为 1
故三棱锥 $P-A_{1} M N$ 的体积为 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}$
【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力。

【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥 $P-A_{1} M N$ 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥 $P-A M N$ 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论。属于中档偏难题。