2020_新课标 I 卷 (2020·文)
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。以坐标原点为极点 ，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$ ．
①当 $k=1$ 时，$C_{1}$ 是什么曲线？
②当 $k=4$ 时，求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线 $C_{1}$ 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）（ $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ ）．
## 【解析】
【分析】
（1）利用 $\sin ^{2} t+\cos ^{2} t=1$ 消去参数 $t$ ，求出曲线 $C_{1}$ 的普通方程，即可得出结论；
（2）当 $k=4$ 时，$x \geq 0, y \geq 0$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}=\cos ^{2} t \\ \sqrt{y}=\sin ^{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），两式相加消去参数 $t$ ，得 $C_{1}$ 普通方程，由 $\rho \cos \theta=x, \rho \sin \theta=y$ ，将曲线 $C_{2}$ 化为直角坐标方程，联立 $C_{1}, C_{2}$ 方程，即可求解．
【详解】①当 $k=1$ 时，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=\sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），
两式平方相加得 $x^{2}+y^{2}=1$ ，
所以曲线 $C_{1}$ 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
（2）当 $k=4$ 时，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{4} t \\ y=\sin ^{4} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），
所以 $x \geq 0, y \geq 0$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}=\cos ^{2} t \\ \sqrt{y}=\sin ^{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），
两式相加得曲线 $C_{1}$ 方程为 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ ，
得 $\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$ ，平方得 $y=x-2 \sqrt{x}+1,0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ，
曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$ ，
曲线 $C_{2}$ 直角坐标方程为 $4 x-16 y+3=0$ ，
联立 $C_{1}, C_{2}$ 方程 $\left\{\begin{array}{l}y=x-2 \sqrt{x}+1 \\ 4 x-16 y+3=0\end{array}\right.$ ，
整理得 $12 x-32 \sqrt{x}+13=0$ ，解得 $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$ 或 $\sqrt{x}=\frac{13}{6}$（舍去），
$\therefore x=\frac{1}{4}, y=\frac{1}{4}, \therefore C_{1}, C_{2}$ 公共点的直角坐标为 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ ．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题．