2014 高考数学第 22 题答案解析

（22）【2014年上海，文 22,16 分】在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l: a x+b y+c=0$和点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，记 $\eta=\left(a x_{1}+b y_{1}+c\right)\left(a x_{2}+b y_{2}+c\right)$ ．若 $\eta<0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线。
（1）求证：点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔；
（2）若直线 $y=k x$ 是曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1 ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ，求 $E$ 的方程，并证明 $y$
轴为曲线 $E$ 的分隔线。