（22）【2014年上海，文 22,16 分】在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l: a x+b y+c=0$和点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，记 $\eta=\left(a x_{1}+b y_{1}+c\right)\left(a x_{2}+b y_{2}+c\right)$ ．若 $\eta<0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线。
（1）求证：点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔；
（2）若直线 $y=k x$ 是曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1 ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ，求 $E$ 的方程，并证明 $y$
轴为曲线 $E$ 的分隔线。
（22）【2014年上海，文 22,16 分】在平面直角坐…——2014 高考数学第 22 题答案解析
2014_上海卷 (2014·文)
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解：（1）将 $A(1,2), B(-1,0)$ 分别代入 $x+y-1$ ，得 $(1+2-1) \times(-1-1)=-4<0$ ，
∴ 点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔．
（2）直线 $y=k x$ 与曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 有公共点的充要条件是方程组 $\left\{\begin{array}{c}y=k x \\ x^{2}-4 y^{2}=1\end{array}\right.$ 有解，即 $|k|<\frac{1}{2}$ 。
因为直线 $y=k x$ 是曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 的分隔线，故它们没有公共点，即 $|k| \ldots \frac{1}{2}$ ．
当 $|k| \ldots \frac{1}{2}$ 时，对于直线 $y=k x$ ，曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 上的点 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ 满足 $\eta=-k^{2}<0$ ，即点 $(-1,0)$ 和
$(1,0)$ 被 $y=k x$ 分隔．故实数 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．
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（3）设 $M$ 的坐标为 $(x, y)$ ，则曲线 $E$ 的方程为 $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}} \cdot|x|=1$ ，即 $\left[x^{2}+(y-2)^{2}\right] \cdot x^{2}=1$对任意的 $y_{0},\left(0, y_{0}\right)$ 不是上述方程的解，即 $y$ 轴与曲线 $E$ 没有公共点．又曲线 $E$ 上的
点 $(-1,2)$ 和 $(1,2)$ 对于
$y$ 轴满足 $\eta<0$ ，即点 $(-1,2)$ 和 $(1,2)$ 被 $y$ 轴分隔．所以 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分割线．
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