2014 上海卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）【2014年上海，文 1 ，5分】函数 $y=1-2 \cos ^{2}(2 x)$ 的最小正周期是 $\_\_\_\_$。

（2）【2014年上海，文 2 ，5分】若复数 $z=1+2 \mathrm{i}$ ，其中 i 是虚数单位，则 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right) \cdot \bar{z}=$ $\_\_\_\_$

（3）【2014年上海，文3，5分】设常数 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=|x-1|+\left|x^{2}-a\right|$ ，若 $f(2)=1$ ，则 $f(1)=$ $\_\_\_\_$。

（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的右焦点重合 ，则该抛物线的准线方程为 $\_\_\_\_$ ．

（5）【2014年上海，文 5 ， 5 分】某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、 1200 名、 800名。为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 $\_\_\_\_$。

（6）【2014年上海，文6，5分】若实数 $x, y$ 满足 $x y=1$ ，则 $x^{2}+2 y^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为 $\_\_\_\_$。（结果用反三角函数值表示）

（8）【2014年上海，文 8 ， 5 分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 $\_\_\_\_$。

（9）【2014年上海，文 9 ，5分】设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x+a, x, 0 \\ x+\frac{1}{x}, x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的最小值，则 $a$的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

（10）【2014年上海，文 10 ， 5 分】设无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n}\right), q=$ $\_\_\_\_$。

（11）【2014年上海，文 11,5 分】若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$ ，则满足 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

（12）【2014年上海，文 12 ， 5 分】方程 $\sin x+\sqrt{3} \cos x=1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的所有解的和等于 $\_\_\_\_$。

（13）【2014年上海，文 13 ， 5 分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）。

（14）【2014年上海，文 14,5 分】已知曲线 $C: x=-\sqrt{4-y^{2}}$ ，直线 $l: x=6$ ．若对于点 $A(m, 0)$ ，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$ 使得 $\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{0}$ ，则 $m$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

（15）【2014年上海，文 15 ， 5 分】设 $a, b \in \mathbf{R}$ ，则＂$a+b>4$＂是＂$a>2$ 且 $b>2$＂的

（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数 $a, b$ 满足 $a b \neq 0$ ，集合 $\{a, b\}=\left\{a^{2}, b^{2}\right\}$ ，则 $a+b=$

（17）【2014年上海，文 17 ， 5 分】如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形， $A B$ 是大正方形的一条边，$P_{i}(i=1,2,3, \cdots, 7)$ 是小正方形的其余顶点，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A P}_{i}(i=1,2, \cdots, 7)$ 的不同值的个数为

（18）【2014年上海，文18，5分】已知 $P_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right)$ 与 $P_{2}\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 是直线 $y=k x+1$（ $k$ 为常数）上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y=1 \\ a_{2} x+b_{2} y=1\end{array}\right.$ 的解的情况是（ ）

（19）【2014年上海，文 19 ， 12 分】底面边长为 2 的正三棱锥 $P-A B C$ ，其表面展开图是三 角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ ，如图．求 $\Delta P_{1} P_{2} P_{3}$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$ ．

（20）【2014年上海，文 20,14 分】设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f(x)=\frac{2^{x}+a}{2^{x}-a}$ ． （1）若 $a=4$ ，求函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ ； （2）根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由。

（21）【2014年上海，文 21,14 分】如图，某公司要在 $A , B$ 两地连线  上的定点 $C$ 处建造广告牌 $C D$ ，其中 $D$ 为顶端，$A C$ 长 35 米，$C B$ 长 80 米．设点 $A , B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。 ①设计中 $C D$ 是铅垂方向．若要求 $\alpha \geq 2 \beta$ ，问 $C D$ 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ （2）施工完成后，$C D$ 与铅垂方向有偏差．现在实测得 $\alpha=38.12^{\circ}, \beta=18.45^{\circ}$ ，求 $C D$ 的长（结果精确到 0.01 米）。

（22）【2014年上海，文 22,16 分】在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l: a x+b y+c=0$和点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，记 $\eta=\left(a x_{1}+b y_{1}+c\right)\left(a x_{2}+b y_{2}+c\right)$ ．若 $\eta<0$ ，则称点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔．若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}, P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线。 （1）求证：点 $A(1,2), B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分隔； （2）若直线 $y=k x$ 是曲线 $x^{2}-4 y^{2}=1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； （3）动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1 ，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ，求 $E$ 的方程，并证明 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线。

（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n+1} \leq 3 a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}, a_{1}=1$ ． （1）若 $a_{2}=2, a_{3}=x, a_{4}=9$ ，求 $x$ 的取值范围； （2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{m}=\frac{1}{1000}$ ，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比； （3）若 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{100}$ 成等差数列，求数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{100}$ 的公差的取值范围．