（本小题满分 12 分） 如图， A B C 和 B C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）详见解析；（II）$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$．

## 【解析】

试题分析：（I）（方法一）过 $E$ 作 $E O \perp B C$，垂足为 $O$，连 $O F$，由 $\triangle A B C \cong \triangle D B C$ 可证出 $\triangle E O C \cong \triangle F O C$，所以 $\angle E O C=\angle F O C=\frac{\pi}{2}$，即 $F O \perp B C$，又 $E O 13 C$，四此 $B C \perp$ 面 $\angle F O$，即可证明 $E F \perp B C$（方法二）由题意，以 $B$ 为坐标原点，在平面 $D B C$ 内过 $B$ 左垂直 $B C$ 的直线为 $x$ 轴，$B C$ 所在直线为 $y$ 轴，在平面 $A B C$ 内过 $B$ 作垂直 $B C$ 的直线为 $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

（I．） 2

易得 $E\left(0, \frac{1}{2}, ~ \frac{\sqrt{3}}{2}\right), F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, ~ \frac{1}{2}, ~ 0\right)$，所以 $\overrightarrow{E F}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{B C}=(0,2,0)$，因此 $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B C}=0$，从而得 $E F \perp B C$；（II）（方法一）在图 1 中，过 $O$ 作 $O G \perp B F$，垂足为 $G$，连 $E G$，由平面 $A B C \perp$ 平面 $B D C$，从而 $E O \perp$ 平面 $B D C$，从而 $E O \perp$ 面 $B D C$，又 $O G L B F$，由三土线定理知 $E G$ 垂直 $B F$，因此 $\angle E G O$ 为二面角 $E-B F-C$ 的平面角；在 $\triangle E O C$ 中，$E C=\frac{1}{2} E C=\frac{1}{2} B C \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由 $\triangle B G O \backsim \triangle B F C$ 知， $O G=\frac{B O}{B C} \cdot F C=\frac{\sqrt{3}}{4}$，因此 $\tan \angle E G O=\frac{E O}{O G}=2$，从而 $\sin \angle S C O=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$，即可求出二面角 $E-B F-C$ 的正弦值． （方法二）在图2中，平面 $B F C$ 的一个法向至） $\overrightarrow{n_{1}}=(0,0,1)$，设平面 $B E F$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{2}}=(x, y, z)$，又，由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B F}=0 \\ \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B E}=0\end{array}\right.$ 得其中一个 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,-\sqrt{3}, 1)$，设二面角 $E-B F-C$ 的大小为 $\theta$，且由题意知 $\theta$ 为锐角，则 $\cos \theta=\left|\cos \left\langle\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}\right\rangle\right|=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}\right|=\frac{1}{\sqrt{5}}$，因此 $\sin \angle E G O=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$，即可求出二面角 $E-B F-C$ 的正弦值。

试题解析：（ I ）证明：
（方法一）过 $E$ 作 $E O \perp B C$，垂足为 $O$，连 $O F$，

图1

由 $\triangle A B C \cong \triangle D B C$ 可证出 $\triangle E O C \cong \triangle F O C$，所以 $\angle E O C=\angle F O C=\frac{\pi}{2}$，即 $F O \perp B C$，又 $E O \perp B C$，因此 $B C \perp$ 面 $E F O$，

又 $E F \subset$ 面 $E F O$，所以 $E F \perp B C$．
（方法二）由题意，以 $B$ 为坐标原点，在平面 $D B C$ 内过 $B$ 左垂直 $B C$ 的直线为 $x$ 轴，$B C$ 所在直线为 $y$ 轴，在平面 $A B C$ 内过 $B$ 作垂直 $B C$ 的直线为 $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

શિચ

易得 $B(0,0,0), A(0,-1, \sqrt{3}), D(\sqrt{3},-1,0), C(0,2,0)$，因而 $E\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$，所以 $\overrightarrow{E F}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{B C}=(0,2,0)$，因此 $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B C}=0$，从而 $\overrightarrow{E F} \perp \overrightarrow{B C}$，所以 $E F \perp B C$．

（II）（方法一）在图1中，过 $O$ 作 $O G \perp B F$，垂足为 $G$，连 $E G$，由平面 $A B C \perp$ 平面 $B D C$，从而 $E O \perp$ 平面 $B D C$，从而 $E O \perp$ 面 $B D C$，又 $O G \perp B F$，由三垂线定理知 $E G$ 垂直 $B F$．

因此 $\angle E G O$ 为二面角 $E-B F-C$ 的平面角；
在 $\triangle E O C$ 中，$E O=\frac{1}{2} E C=\frac{1}{2} B C \cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由 $\triangle B G O \cos \triangle B F C$ 知，$O G=\frac{B O}{B C} \cdot F C=\frac{\sqrt{3}}{4}$，因此 $\tan \angle E G O=\frac{E O}{O G}=2$，从而 $\sin \angle E G O=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$，即二而角 $E-B^{F}-C$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$．
（方法二）在图 2 中，平面 $B F C$ 的一个汢学」科网向量为 $\bar{n}_{1}=(0,0,1)$，设平面 $B E F$ 的法向量 $\bar{n}_{2}=(x, y, z)$，又 $\overrightarrow{B F}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \overrightarrow{B E}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B F}=0 \\ \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{B E}=0\end{array}\right.$ 得其中一个 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,-\sqrt{3}, 1)$，设二面角 $E-B F-C$ 的大小为 $\theta$，且由题意知 $\theta$ 为锐角，则 $\cos \theta=\left|\cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle\right|=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}\right|=\frac{1}{\sqrt{5}}$，因此 $\sin \angle E G O=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$，即二面角 $E-B F-C$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$．

考点：1．线面垂直的判定；2．二面角。