( x - 1 ) ^ 2 + y ^ 2 = 2 5 的…——2024 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $\frac { 4 } { 5 } \# \# 0 . 8$

【解析】

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及 $A F$ 的方程，从而可求原点到直线 $A F$ 的距离.

【详解】圆 $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5$ 的圆心为 $F ( 1 , 0 )$ ，故 ${ \frac { p } { 2 } } = 1$ 即 $p = 2$ 由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5 } \\ { y ^ { 2 } = 4 x } \end{array} } \right.$ 可得 $x ^ { 2 } + 2 x - 2 4 = 0$ ，故 x = 4 或 x = -6（舍），故 $A \left( 4 , \pm 4 \right)$ ，故直线 $A F : y = \pm { \frac { 4 } { 3 } } { \big ( } x - 1 { \big ) }$ 即 $4 x - 3 y - 4 = 0$ 或 $4 x + 3 y - 4 = 0$ 故原点到直线 $A F$ 的距离为 $d = { \frac { \left| 4 \right| } { 5 } } = { \frac { 4 } { 5 } }$ 故答案为： $\frac { 4 } { 5 }$