双曲线 x^2 a^2 - y^2 b^2 (a > 0,…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【分析】先由点到直线的距离公式求出 $b$ ，设 $\angle POF_2 = \theta$ ，由 $\tan \theta = \frac{b}{|OP|} = \frac{b}{a}$ 得到 $|OP| = a$ ， $\left|OF_2\right| = c$ 。再由三角形的面积公式得到 $y_P$ ，从而得到 $x_P$ ，则可得到 $\frac{a}{a^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，解出 $a$ ，代入双曲线的方程即可得到答案。

【详解】如图，

因为 $F_{2}(c,0)$ ，不妨设渐近线方程为 $y = \frac{b}{a} x$ ，即 $bx - ay = 0$ ，

所以 $\left|PF_{2}\right|=\frac{\left|bc\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$ ，

所以 b = 2 .

设 $\angle POF_{2} = \theta$ ，则 $\tan \theta = \frac{\left|PF_{2}\right|}{\left|OP\right|} = \frac{b}{\left|OP\right|} = \frac{b}{a}$ ，所以 $\left|OP\right| = a$ ，所以 $\left|OF_{2}\right| = c$ ：

因为 $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c\cdot y_{P}$ ，所以 $y_{P}=\frac{ab}{c}$ ，所以 $\tan\theta=\frac{y_{P}}{x_{P}}=\frac{\frac{ab}{c}}{x_{P}}=\frac{b}{a}$ ，所以 $x_{P}=\frac{a^{2}}{c}$ ，

所以 $P\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$

因为 $F_{1}(-c,0)$ ,

所以 $k_{PF_1} = \frac{\frac{ab}{c}}{\frac{a^2}{c} + c} = \frac{ab}{a^2 + c^2} = \frac{2a}{a^2 + a^2 + 4} = \frac{a}{a^2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

所以 $\sqrt{2}(a^{2}+2)=4a$ ，解得 $a=\sqrt{2}$

所以双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$

故选：D