设 a _ n = 1 n s i n n π 2 5 ,…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【答案】D

[解析]对于 $1 \leqslant k \leqslant 2 5 , a _ { k } \geqslant 0$ (唯 $a _ { 2 5 } \mathrm { = } 0 )$ ，所以 $S _ { k } ( 1 \leqslant k \leqslant 2 5 )$ 都为正数.当26≤k≤49时，令 $\textstyle { \frac { \pi } { 2 5 } } = \alpha$ ，则 $\textstyle { \frac { k \pi } { 2 5 } } = k \alpha$ ，画出kα终边如右，其终边两两关于x轴对称，即有 $\sin { k \alpha } = - \sin ( 5 0 - k \alpha )$ ),所以 $S _ { k } = { \scriptstyle { \frac { 1 } { 1 } } } \sin \alpha + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sin 2 \alpha + + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 3 } } } \sin 2 3 \alpha + { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } } \sin 2 4 \alpha + 0$ $+ \frac { 1 } { 2 6 } \sin 2 6 \alpha + \textstyle \frac { 1 } { 2 7 } \sin 2 7 \alpha + \frac { 1 } { k } \sin k \alpha$ $= \frac { 1 } { 1 } \sin \alpha + \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \alpha + + \left( \frac { 1 } { 2 4 } - \frac { 1 } { 2 6 } \right) \sin 2 4 \alpha + \left( \frac { 1 } { 2 3 } - \frac { 1 } { 2 7 } \right) \sin 2 3 \alpha +$ 十$+ ( \frac { 1 } { 5 0 - k } - \frac { 1 } { k } ) \sin ( 5 0 - k ) \alpha$ ，其中 $^ { 1 } k { = } 2 6 , 2 7 , , 4 9$ ，此时 $0 < 5 0 - k < k$ 所以 $\frac { 1 } { 5 0 - k } - \frac { 1 } { k } > 0$ ,又 $0 < ( 5 0 - k ) \alpha \leq 2 4 \alpha < \pi$ ，所以 $\sin ( 5 0 - k ) \alpha > 0$ 从而当k=26,27，,49时，S都是正数， $S _ { 5 0 } { = } S _ { 4 9 } { + } a _ { 5 0 } { = } S _ { 4 9 } { + } 0 { = } S _ { 4 9 } \rangle 0$ 对于k从51到100的情况同上可知S都是正数．综上，可选D.

[评注]

本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析S的符号，为此，需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想.而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键.