2008_退役省自主命题 (2008·文)
15．设 $[x]$ 表示不超过 x 的最大整数，$\left(\right.$ 如 $\left.[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1\right)$ 。对于给定的 $n \in N^{+}$，
定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；
当 $x \in[2,3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\_\_\_\_$。
## 三．
【解答】
设 $[x]$ 表示不超过 x 的最大整数，（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ）。对于给定的 $n \in N^{+}$，
定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；
当 $x \in[2,3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\_\_\_\_$。
【答案】 $\frac{16}{3},\left(\frac{28}{3}, 28\right]$
【解析】 $C_{8}^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3}$ ，当 $x=2$ 时，$C_{8}^{2}=\frac{8 \times 7}{2 \times 1}=28$ ，当 $x \rightarrow 3$ 时，$[x]=2$ ，所以 $C_{8}^{x}=\frac{8 \times 7}{3 \times 2}=\frac{28}{3}$ ，故函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\left(\frac{28}{3}, 28\right]$ ．
## 三．