2013_浙江卷 (2013·文)
22．（14 分）（2013•浙江）已知抛物线 C 的顶点为 $\mathrm{O}(0,0)$ ，焦点 $\mathrm{F}(0,1)$
（I）求抛物线 C 的方程；
（II）过 $F$ 作直线交抛物线于 $A , B$ 两点．若直线 $O A , O B$ 分别交直线 $1: y=x-2$ 于 $M , N$ 两点，求 $|M N|$ 的最小值。
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点 $\mathrm{F}(0,1)$ 可直接求得 p ，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（II）由题意，可 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $A B$ 的方程为 $y=k x+1$ ，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出 $|\mathrm{MN}|$ ，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
解答：
解：（I）由题意可设抛物线 C 的方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 则 $\frac{\mathrm{p}}{2}=1$ ，解得 $\mathrm{p}=2$ ，故抛物线 C 的方程为 $\mathrm{x}^{2}=4 \mathrm{y}$
（II）设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，直线 AB 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ x^{2}=4 y\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，整理得 $x^{2}-4 k x-4=0$
所以 $x_{1}+x_{2}=4 k, x_{1} x_{2}=-4$ ，从而有 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=4 \sqrt{k^{2}+1}$
由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_{1}}{x_{1}} x_{\text {解得点 } M \text { 的横坐标为 } x_{M}=\frac{2 x_{1}}{x_{1}-y_{1}}=\frac{2 x_{1}}{x_{1}-\frac{x_{1}}{4}}=\frac{8}{4-x_{1}} \text { ，}}^{y=x-2} \\ y=x-2\end{array}\right.$ ，
同理可得点 $N$ 的横坐标为 $x_{N}=\frac{8}{4-x_{2}}$
所以 $|M N|=\sqrt{2}\left|x_{M}-x_{N}\right|=\left|\frac{8}{4-x_{1}}-\frac{8}{4-x_{2}}\right|=8 \sqrt{2}\left|\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1} x_{2}-4\left(x_{1}+x_{2}\right)+16}\right|=\frac{8 \sqrt{2} \sqrt{k^{2}+1}}{|4 k-3|}$
令 $4 k-3=t, t$ 不为 0 ，则 $k=\frac{t+3}{4}$
当 $\mathrm{t}>0$ 时，$|\mathrm{MN}|=2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{25}{\mathrm{t}^{2}}+\frac{6}{\mathrm{t}}+1}>2 \sqrt{2}$
当 $\mathrm{t}<0$ 时，$|\mathrm{MN}|=2 \sqrt{2} \sqrt{\frac{25}{\mathrm{t}^{2}}+\frac{6}{\mathrm{t}}+1}=2 \sqrt{2} \sqrt{\left(\frac{5}{\mathrm{t}}+\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{16}{25}} \geq \frac{8 \sqrt{2}}{5}$
综上所述，当 $\mathrm{t}=-\frac{25}{3}$ 时，$|\mathrm{MN}|$ 的最小值是 $\frac{8 \sqrt{2}}{5}$
点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量 t ，就起到了简化计算的作用