（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接 $B C_{1}$ ，则 $O$ 为 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，证明 $B_{1} C \perp$ 平面 $A B O$ ，可得 $B_{1} C \perp$ AB；
（2）作 $O D \perp B C$ ，垂足为 $D$ ，连接 $A D$ ，作 $O H \perp A D$ ，垂足为 $H$ ，证明 $\triangle C B_{1}$ 为等边三角形，求出 $\mathrm{B}_{1}$ 到平面 ABC 的距离，即可求三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的高．

【解答】（1）证明：连接 $\mathrm{BC}_{1}$ ，则 O 为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与 $\mathrm{BC}_{1}$ 的交点，
∵ 侧面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ 为菱形，
$\therefore \mathrm{BC}_{1} \perp \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}$ ，
$\because \mathrm{AO} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，
$\therefore \mathrm{AO} \perp \mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ ，
$\because \mathrm{AO} \cap \mathrm{BC}_{1}=\mathrm{O}$,
$\therefore \mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 ABO ，
$\because \mathrm{ABC} \subset$ 平面 ABO ，
$\therefore \mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$ ；
（2）解：作 $O D \perp B C$ ，垂足为 $D$ ，连接 $A D$ ，作 $O H \perp A D$ ，垂足为 $H$ ，
$\because B C \perp A O, \quad B C \perp O D, \quad A O \cap O D=O$ ，
$\therefore \mathrm{BC} \perp$ 平面 AOD ，
$\therefore \mathrm{OH} \perp \mathrm{BC}$ ，
$\because \mathrm{OH} \perp \mathrm{AD}, \quad \mathrm{BC} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{D}$ ，
$\therefore \mathrm{OH} \perp$ 平面 ABC ，
$\because \angle \mathrm{CBB}_{1}=60^{\circ}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{CBB}_{1}$ 为等边三角形，
$\because \mathrm{BC}=1, \quad \therefore \mathrm{OD}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，

$\because \mathrm{AC} \perp \mathrm{AB}_{1}, \quad \therefore \mathrm{OA}=\frac{1}{2} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}=\frac{1}{2}$,
由 $O H \cdot A D=O D \cdot O A$ ，可得 $A D=\sqrt{O D^{2}+O A^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}, \therefore O H=\frac{\sqrt{21}}{14}$ ，
$\because \mathrm{O}$ 为 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{B}_{1}$ 到平面 ABC 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，
∴ 三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的高 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。