2014 新课标 I 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $M=\{x \mid-1<x<3\}, N=\{x \mid-2<x<1\}$ ，则 $M \cap N=$（）

2．（5分）若 $\tan \alpha>0$ ，则（ ）

3．（5分）设 $\mathrm{z}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$ ，则 $|\mathrm{z}|=()$

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1 ~(a>0) ~$ 的离心率为2，则实数 $a=~(\quad)$

5．（5分）设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$是偶函数，则下列结论正确的是

6．（5分）设 $D, E, F$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三边 $B C, C A, A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{F C}=$（

7．（5分）在函数（1）$y=\cos |2 x|$ ，②$y=|\cos x|$ ，③$y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ，④$y=\tan$（ $\left.2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 中，最小正周期为 $\pi$ 的所有函数为（ ）

8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） 

9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的 $a, b, k$ 分别为 $1,2,3$ ，则输出的 $M=$ 

10．（5分）已知抛物线C：$y^{2}=x$ 的焦点为 $F, A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是C上一点，$A F=\left|\frac{5}{4} x_{0}\right|$ ，则 $\mathrm{x}_{0}=$（ ）

11．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant a \\ x-y \leqslant-1\end{array}\right.$ 且 $z=x+a y$ 的最小值为 7 ，则 $a=$（

12．（5分）已知函数 $f(x)=a x^{3}-3 x^{2}+1$ ，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}>0$ ，则实数 a 的取值范围是（）

13．（5分）将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{2}{3}$。

14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 $\_\_\_\_$ A ．

15．（5 分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x-1}, & x<1 \\ \frac{1}{3}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则使得 $f(x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范 围是 $\_\_\_\_$ $x \leq 8$ ．

16．（5分）如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 $M$ 点的仰角 $\angle M A N=60^{\circ}$ ，C点的仰角 $\angle C A B=45^{\circ}$ 以及 $\angle M A C=75^{\circ}$ ；从C点测得 $\angle M C A=60^{\circ}$ ，已知山高 $B C=100 \mathrm{~m}$ ，则山高 $M N=$ $\_\_\_\_$ 150 m． 

17．（12分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等差数列，$a_{2}, a_{4}$ 是方程 $x^{2}-5 x+6=0$ 的根． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．（12分）从某企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： | 质量指标值分组 | ［75，85） | ［85，95） | ［95，105） | ［105， 115 ） | ［115， 125 ） | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 | （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；  （2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合＂质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 $80 \%$ 的规定？

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B_{1} C_{1} C$ 为菱形，$B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $\mathrm{AO} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ． （1）证明： $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$ ； （2）若 $A C \perp A B_{1}, \angle C B_{1}=60^{\circ}, B C=1$ ，求三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高。 

20．（12分）已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C: x^{2}+y^{2}-8 y=0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M, O$ 为坐标原点． （1）求 M 的轨迹方程； （2）当 $|O P|=|O M|$ 时，求$l$的方程及 $\triangle P O M$ 的面积．

21．（12分）设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f$ （1））处的切线斜率为 0 ， （1）求 b ； （2）若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

22．（10分）如图，四边形 ABCD 是 $\odot \mathrm{O}$ 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 $E$ ，且 $C B=C E$ ． （I）证明：$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{E}$ ； （II）设 $A D$ 不是 $\odot O$ 的直径，$A D$ 的中点为 $M$ ，且 $M B=M C$ ，证明：$\triangle A D E$ 为等边三角形。 

23．已知曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{9}=1$ ，直线 1 ：$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2+\mathrm{t} \\ \mathrm{y}=2-2 \mathrm{t}\end{array}\right.$（ t 为参数） （I）写出曲线C的参数方程，直线 $l$的普通方程． （II）过曲线 C 上任意一点 P 作与 I 夹角为 $30^{\circ}$ 的直线，交于点 A ，求 $|\mathrm{PA}|$ 的最大值与最小值。

24．若 $a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ． （I）求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值； （II）是否存在 $a$ ，$b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ？并说明理由．