2009_退役省自主命题 (2009·理)
（22）（本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲
已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ，
$D$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆劣弧 $\overparen{A C}$ 上的点（不与点 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 重合），延长 BD 至 E 。
（I）求证： AD 的延长线平分 $\angle \mathrm{CDE}$ ；
（II）若 $\angle \mathrm{BAC}=30, ~ \triangle \mathrm{ABC}$ 中 BC 边上的高为 $2+\sqrt{3}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆的面积。
【解答】
解：
（I）如图，设 F 为 AD 延长线上一点
$\because \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点共圆，
$\therefore \angle \mathrm{CDF}=\angle \mathrm{ABC}$
又 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC} \therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB}$ ，
且 $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ACB}, \therefore \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDF}$ ，
对顶角 $\angle \mathrm{EDF}=\angle \mathrm{ADB}$ ，故 $\angle \mathrm{EDF}=\angle \mathrm{CDF}$ ，
即 AD 的延长线平分 $\angle \mathrm{CDE}$ ．
（II）设 0 为外接圆圆心，连接 A 0 交 BC 于 H ，则 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ ．
连接 $0 \mathrm{C}, \mathrm{A}$ 由题意 $\angle 0 \mathrm{AC}=\angle 0 \mathrm{CA}=15^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=75^{\circ}$ ，
$\therefore \angle O C H=60^{\circ}$ ．
设圆半径为 $r$ ，则 $r+\frac{\sqrt{3}}{2} r=2+\sqrt{3}$ 得 $r=2$ ，外接圆的面积为 $4 \pi 。$