2012_江苏卷 (2012)
23．（本小题满分 10 分）
设集合 $P_{n}=\{1,2, \ldots, n\}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．记 $f(n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：
①$A \subseteq P_{n}$ ；
（2）若 $x \in A$ ，则 $2 x \notin A$ ；
（3）若 $x \in{\widehat{\mathrm{O}_{P_{n}}}} A$ ，则 $2 x \notin{\widehat{\mathrm{O}_{P_{n}}}} A$ ．
（1）求 $f(4)$ ；
（2）求 $f(n)$ 的解析式（用 $n$ 表示）。
# 2012年江苏省高考数学试卷
【解答】
（10分）（2012•江苏）设集合 $\mathrm{P}_{\mathrm{n}}=\{1,2, \ldots, \mathrm{n}\}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ 。记 $\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：
①$A \subseteq P_{n}$ ；（2）若 $x \in A$ ，则 $2 x \notin A$ ；（3）若 $x \in C_{P_{n}} A$ ，则 $2 x \notin C_{P_{n}} A$ ．
（1）求 $\mathrm{f}(4)$ ；
（2）求 $\mathrm{f} ~(\mathrm{n}) ~$ 的解析式（用 n 表示）。
考点 函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应 ：用。
专题 集合。
：
分析（1）由题意可得 $\mathrm{P}_{4}=\{1,2,3,4\}$ ，符合条件的集合 A 为：$\{2\},\{1,4\},\{2,3\},\{$
： $1,3,4\}$ ，故可求 f （4）
（2）任取偶数 $\mathrm{x} \in \mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ ，将 x 除以 2 ，若商仍为偶数，再除以 $2 \ldots$ ，经过 k 次后，商必为奇数，此时记商为 $m$ ，可知，若 $m \in A$ ，则 $x \in A$ ，$\Leftrightarrow k$ 为偶数；若 $m \notin A$ ，则 $x \in A \Leftrightarrow k$ 为奇数，可求
解答 解①当 $\mathrm{n}=4$ 时， $\mathrm{P}_{4}=\{1,2,3,4\}$ ，符合条件的集合 A 为：$\{2\},\{1,4\}, ~\{2,3\}$ ， $\{1,3,4\}$
故f（4）$=4$
（2）任取偶数 $\mathrm{x} \in \mathrm{p}_{\mathrm{n}}$ ，将 x 除以 2 ，若商仍为偶数，再除以 $2 \ldots$ ，经过 k 次后，商必为奇数，此时记商为 m ，
于是 $x=m \cdot 2^{k}$ ，其中 $m$ 为奇数，$k \in N^{*}$
由条件可知，若 $m \in A$ ，则 $x \in A$ ，$\Leftrightarrow k$ 为偶数
若 $m \notin A$ ，则 $x \in A \Leftrightarrow k$ 为奇数
于是 $x$ 是否属于 $A$ 由 $m$ 是否属于 $A$ 确定，设 $Q_{n}$ 是 $P_{n}$ 中所有的奇数的集合
因此 $f(n)$ 等于 $Q_{n}$ 的子集个数，当 $n$ 为偶数时（或奇数时），$P_{n}$ 中奇数的个数是 $\frac{1}{2} n$
$$ \begin{aligned} & \left(\text { 或 } \frac{1+n}{2}\right) \\ & \therefore f(n)=\left\{\begin{array}{l} 2^{\frac{n}{2}}, n \text { 为偶数 } \\ \frac{n+1}{2}, n \text { 为奇数 } \end{array}\right. \end{aligned} $$
点评 本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义