（5分）在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2017 高考数学第 10 题答案解析

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】法一：连 $B_{1} C$ ，推导出 $B C_{1} \perp B_{1} C, A_{1} B_{1} \perp B C_{1}$ ，从而 $B C_{1} \perp$ 平面 $A_{1} E C B_{1}$ ，由此得到 $A_{1} E \perp B C_{1}$ ．

法二：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果。

【解答】解：法一：连 $B_{1} C$ ，由题意得 $B C_{1} \perp B_{1} C$ ，

$\because A_{1} B_{1} \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ，且 $B C_{1} \subset$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \perp \mathrm{BC}_{1}$ ，
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \cap \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}=\mathrm{B}_{1}$,
$\therefore \mathrm{BC}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{ECB}_{1}$ ，
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{E} \subset$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{ECB}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{E} \perp \mathrm{BC}_{1}$ ．
故选：C．
法二：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中棱长为 2 ，

则 $\mathrm{A}_{1}(2,0,2), \mathrm{E}(0,1,0), \mathrm{B}(2,2,0), \mathrm{D}(0,0,0), \mathrm{C}_{1}(0,2$ ， $2), A(2,0,0), C(0,2,0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}}=(-2,1,-2), \overrightarrow{\mathrm{DC}_{1}}=(0,2,2), \overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-2,-2,0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BC}_{1}}=(-2,0,2), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,2,0)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}_{1}}=-2, \overrightarrow{\mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=2, \overrightarrow{\mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=6$,
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{E} \perp \mathrm{BC}_{1}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．