2017 新课标 III 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,4,6,8\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为

2．（5分）复平面内表示复数 $z=i(-2+i)$ 的点位于

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。  根据该折线图，下列结论错误的是

4．（5分）已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$（ ）

5．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-6 \leqslant 0 \\ x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=x-y$ 的取值范围是（ ）

6．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{5} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的最大值为（ ）

7．（5分）函数 $y=1+x+\frac{\sin x}{x^{2}}$ 的部分图象大致为

8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91 ，则输入的正整数 N 的最小值为（ ） 

9．（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

10．（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱CD的中点，则（）

11．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(-2,3), \vec{b}=(3, m)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{3}{5} x$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 5

15．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60，b＝$\sqrt{6}, ~ c =3$ ，则 $\mathrm{A}=$ $\_\_\_\_$ $75^{\circ}$。

16．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．

17．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+3 a_{2}+\ldots+(2 n-1) a_{n}=2 n$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{{ }^{a} n}{2 n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）有关。如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间［ 20,25 ），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ： | 最高气温 | $[10,15)$ | $[15,20)$ | $[20,25)$ | $[25,30)$ | $[30,35)$ | $[35,40)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 | 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率。

19．（12分）如图四面体 $A B C D$ 中，$\triangle A B C$ 是正三角形，$A D=C D$ ． （1）证明：$A C \perp B D$ ； （2）已知 $\triangle A C D$ 是直角三角形，$A B=B D$ ，若 $E$ 为棱 $B D$ 上与 $D$ 不重合的点，且 $A E \perp E$ C，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 

20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $y=x^{2}+m x-2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$的坐标为 $(0,1)$ ，当 m 变化时，解答下列问题： ①能否出现 $A C \perp B C$ 的情况？说明理由； ②证明过 $A , B , C$ 三点的圆在 $y$ 轴上截得的弦长为定值．

21．（12分）已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）当 $a<0$ 时，证明 $f(x) \leq-\frac{3}{4 a}-2$ ．

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线 $\mathrm{I}_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2+\mathrm{t} \\ \mathrm{y}=\mathrm{k} \mathrm{t}\end{array}\right.$（ t 为参数） ，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+\mathrm{m} \\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}\end{array}\right.$ ，（ m 为参数）．设 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $I_{3}: \rho(\cos \theta+\sin \theta$ ）$-\sqrt{2}=0, M$ 为 $I_{3}$ 与 $C$ 的交点，求 $M$ 的极径．

23．已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}+1|-|\mathrm{x}-2|$ ． （1）求不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集； （2）若不等式 $f(x) \geq x^{2}-x+m$ 的解集非空，求 $m$ 的取值范围。