（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】 MI ：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离

【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，可得 $\sin \angle A S B= \sqrt{1-\left(\frac{7}{8}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$.
$\triangle S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，
可得 $\frac{1}{2} S \mathrm{~A}^{2} \sin \angle \mathrm{ASB}=5 \sqrt{15}$ ，即 $\frac{1}{2} \mathrm{SA}^{2} \times \frac{\sqrt{15}}{8}=5 \sqrt{15}$ ，即 $\mathrm{SA}=4 \sqrt{5}$ ．
$S A$ 与圆锥底面所成角为 $45^{\circ}$ ，可得圆锥的底面半径为：$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 4 \sqrt{5}=2 \sqrt{10}$ ．
则该圆锥的侧面积：$\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{10} \times 4 \sqrt{5} \pi=40 \sqrt{2} \pi$ ．
故答案为： $40 \sqrt{2} \pi$ 。
【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．