2018 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）$\frac{1+2 i}{1-2 i}=$

2．（5分）已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 3, x \in Z, y \in Z\right\}$ ，则 $A$ 中元素的个数为 ）

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}}$ 的图象大致为

4．（5分）已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ ，则 $\vec{a} \bullet(2 \vec{a}-\vec{b})=$（ ）

5．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（ ）

6．（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=5$ ，则 $\mathrm{AB}=$（ ）

7．（5分）为计算 $\mathrm{S}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 

8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 ．哥德巴赫猜想是＂每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和＂，如 $30=7+23$ －在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（

9．（5分）在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=1, A A_{1}=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$与 $\mathrm{DB}_{1}$ 所成角的余弦值为（ ）

10．（5分）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a, a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（

11．（5分）已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f( 1+x)$ ，若 $f(1)=2$ ，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(50)=(\quad)$

12．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是 $C$的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上，$\triangle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 为等腰三角形，$\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{P}= 120^{\circ}$ ，则 C 的离心率为

13．（5分）曲线 $y=2 \ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ $y=2 x$。

14．（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-5 \geqslant 0 \\ x-2 y+3 \geqslant 0 \\ x-5 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 9 ．

15．（5分）已知 $\sin \alpha+\cos \beta=1, \cos \alpha+\sin \beta=0$ ，则 $\sin (\alpha+\beta)=-\frac{1}{2}$ ．

16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ，SA 与圆锥底面所成角为 $45^{\circ}$ ，若 $\triangle S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为 $40 \sqrt{2} \pi$

17．（12分）记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=-7, S_{3}=-15$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，并求 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最小值．

18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．  为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ，17）建立模型①：$\widehat{y}=-30.4+13.5 t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 $1,2, \ldots$ ，7）建立模型②：$\widehat{\mathrm{y}}=99+17.5 \mathrm{t}$ ． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值 ； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

19．（12分）设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$|\mathrm{AB}|=8$ ． （1）求$l$的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B=B C=2 \sqrt{2}, P A=P B=P C=A C=4, O$ 为A $C$ 的中点． （1）证明：$P O \perp$ 平面 $A B C$ ； （2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 $\mathrm{M}-\mathrm{PA}-\mathrm{C}$ 为 $30^{\circ}$ ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值。 

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}$ ． （1）若 $a=1$ ，证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 1$ ； （2）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点，求 $a$ ．

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=4 \sin \theta\end{array}\right.$ ，（ $\theta$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos \alpha \\ y=2+t \sin \alpha\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数）． （1）求 C 和的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 $l$ 所得线段的中点坐标为 $(1,2)$ ，求 $l$ 的斜率．

23．设函数 $f(x)=5-|x+a|-|x-2|$ ． （1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 0$ 的解集； （2）若 $f(x) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．