2011_大纲版 (2011·理)
12．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2},\langle\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\rangle=6 0^{\circ}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 的最大值等于（ ）
【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】利用向量的数量积求出 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 最大值
【解答】解：$\because|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，
设 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$ 则 $\overrightarrow{C A}=\vec{a}-\vec{c} ; \overrightarrow{C B}=\vec{b}-\vec{c}$
如图所示
则 $\angle A O B=120^{\circ} ; \angle A C B=60^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}$
$\therefore \mathrm{A}$ ， O ， B ， C 四点共圆
$\because \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\overrightarrow{\mathrm{b}}^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}^{2}=3$
$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{3}$
由三角形的正弦定理得外接圆的直径 $2 \mathrm{R}=\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ACB}}=2$
当 $O C$ 为直径时，模最大，最大为 2
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理。