（16）（本小题满分 12 分） 设 A B C 的内角…——2012 高考数学第 16 题答案解析

［解析］①由题， $2 \sin B \cos A=\sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则 $2 \sin B \cos A=\sin (A+C)$ ，故 $\cos A=\frac{1}{2}$ ，即 $A=\frac{\pi}{3}$ ．
②因 $b=2, c=1$ ，因 $D$ 为 $B C$ 的中点，故 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，则

$|\overrightarrow{A D}|^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^{2}=\frac{1}{4}\left(1+4+2 \times 1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3}\right)=\frac{7}{4}$ ，所以 $A D=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ．
［考点定位］考查三角恒等变换与解三角形，考查平面向量的模的运算。