2012 地方卷 · 文 数学

设集合 $A=\{a, b\}, B=\{b, c, d\}$ ，则 $A \cup B=$

$(1+x)^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是

交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 $N$ ，其中甲社区有驾驶员 96 人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 $12,21,25,43$ ，则这四个社区驾驶员的总人数 $N$ 为

函数 $y=a^{x}-a(a>0, a \neq 1)$ 的图象可能是

如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ，延长 $B A$ 至 $E$ ，使 $A E=1$ ，连接 $E C , E D$ 则 $\sin \angle C E D=$

下列命题正确的是（ ）

设 $\vec{a} , \vec{b}$ 都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 成立的充分条件是
A、 $\vec{a}=-\vec{b}$
B $, \vec{a} / / \vec{b}$
C、 $\vec{a}=2 \vec{b}$
D、 $\vec{a} / / \vec{b}$ 且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geq-3, \\ x+2 y \leq 12, \\ 2 x+y \leq 12, \text { 则的最大值是 } \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$

已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$ ，并且经过点 $M\left(2, y_{0}\right)$ 。若点 $M$ 到该抛物线焦点的距离为 3 ，则 $|O M|=$（ ）

如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$ ，过圆 $O$ 的直径 $C D$ 作平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$的距离最大的点为 $B$ ，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle B O P=60^{\circ}$ ，则 $A , P$ 两点间的球面距离为（ ）

方程 $a y=b^{2} x^{2}+c$ 中的 $a, b, c \in\{-2,0,1,2,3\}$ ，且 $a, b, c$ 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ：）

设函数 $f(x)=(x-3)^{3}+x-1,\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的等差数列，
$f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\cdots+f\left(a_{7}\right)=14$ ，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}=(\quad)$

函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2 x}}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$。（用区间表示）

如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$M , N$ 分别是棱 $C D$ 、 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的大小是 $\_\_\_\_$。

椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1(a$ 为定值，且 $a>\sqrt{5})$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A , B, ~ \triangle F A B$ 的周长的最大值是 12 ，则该椭圆的离心率是 $\_\_\_\_$。

设 $a, b$ 为正实数，现有下列命题：
①若 $a^{2}-b^{2}=1$ ，则 $a-b<1$ ；
②若 $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$ ，则 $a-b<1$ ；
③若 $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=1$ ，则 $|a-b|<1$ ；
④若 $\left|a^{3}-b^{3}\right|=1$ ，则 $|a-b|<1$ 。

其中的真命题有 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

（本小题满分 12 分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ 。
（I）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求 $p$ 的值；
（II）求系统 $A$ 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-\frac{1}{2}$ 。
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期和值域；
（II）若 $f(\alpha)=\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\sin 2 \alpha$ 的值。

（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\angle A P B=90^{\circ}, \angle P A B=60^{\circ}, A B=B C=C A$ ，点 $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $O$ 在 $A B$ 上。
（I）求直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角的大小；
（II）求二面角 $B-A P-C$ 的大小。

（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，常数 $\lambda>0$ ，且 $\lambda a_{1} a_{n}=S_{1}+S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立。
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $a_{1}>0, \lambda=100$ 。当 $n$ 为何值时，数列 $\left\{\lg \frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和最大？

（本小题满分 12 分）
如图，动点 $M$ 到两定点 $A(-1,0) , B(2,0)$ 构成 $\triangle M A B$ ，且 $\angle M B A=2 \angle M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ 。
（I）求轨迹 $C$ 的方程；
（II）设直线 $y=-2 x+m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q , R$ ，且 $|P Q|<|P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。

（本小题满分 14 分）
已知 $a$ 为正实数，$n$ 为自然数，抛物线 $y=-x^{2}+\frac{a^{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ，设 $f(n)$ 为
该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距。
（I）用 $a$ 和 $n$ 表示 $f(n)$ ；

（II）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f(n)-1}{f(n)+1} \geq \frac{n}{n+1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（III）当 $0<a<1$ 时，比较 $\frac{1}{f①-f②}+\frac{1}{f(2)-f(4)}+\cdots+\frac{1}{f(n)-f(2 n)}$ 与
$6 \bullet \frac{f①-f(n+1)}{f(0)-f①}$ 的大小，并说明理由。