（4分）（2008 • 四川）已知 AOB =90^ ,…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 $\angle \mathrm{AOB}$ 的平分线上，作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{OA}$ 于 E ，根据线面所成角的定义可知 $\angle \mathrm{COD}$ 为直线 OC 与平面 AOB 所成角，在三角形 COD 中求解此角即可。
【解答】解：由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 $\angle \mathrm{AOB}$ 的平分线上
作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{OA}$ 于 E ，连接 CE 则由三垂线定理 $\mathrm{CE} \perp \mathrm{OE}$ ，
设 $\mathrm{DE}=1 \Rightarrow \mathrm{OE}=1, \mathrm{OD}=\sqrt{2}$ ，又 $\angle \mathrm{COE}=60^{\circ}, \mathrm{CE} \perp \mathrm{OE} \Rightarrow \mathrm{OC}=2$ ，
所以 $C D=\sqrt{O C^{2}-O D^{2}}=\sqrt{2}$ ，
因此直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值 $\sin \angle \mathrm{COD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

【点评】本题主要考查了直线与平面所成角，以及三垂线定理，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题。