（本小题满分 12 分） 如图3，在圆锥 P O 中，已知…——2011 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（2011•湖南）如图，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O=\sqrt{2}, \odot O D$ 的直径 $A B=2$ ，点 $C$ 在 $\widehat{A B}$ 上，且 $\angle C A B=30^{\circ}, D$ 为 $A C$ 的中点．
（ I ）证明：$A C \perp$ 平面 $P O D$ ；
（II）求直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）由已知易得 $A C \perp O D, A C \perp P O$ ，根据直线与平面垂直的判定定理可证 （II）由（I）可证面 $P O D \perp$ 平面 $P A C$ ，由平面垂直的性质考虑在平面 $P O D$ 中过 $O$ 作 $O H \perp P D$ 于 $H$ ，则 $O H \perp$ 平面 $P A C, \angle O C H$ 是直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成的角，在 Rt $\triangle O H C$ 中，求解即可解答：解（I）因为 $O A=O C, D$ 是 $A C$ 的中点，所以 $A C \perp O D$

又 $P O \perp$ 底面 $\odot O, A C \subset$ 底面 $\odot O$
所以 $A C \perp P O$ ，而 $O D, P O$ 是平面内的两条相交直线
所以 $A C \perp$ 平面 $P O D$
（II）由（I）知，$A C \perp$ 平面 $P O D$ ，又 $A C \subset$ 平面 $P A C$
所以平面 $P O D \perp$ 平面 $P A C$
在平面 $P O D$ 中，过 $O$ 作 $O H \perp P D$ 于 $H$ ，则 $O H \perp$ 平面 $P A C$
连接 $C H$ ，则 $C H$ 是 $O C$ 在平面上的射影，所以 $\angle O C H$ 是直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成的角在Rt $\triangle O D A$ 中，$O D=O A . \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

在 Rt $\triangle P O D$ 中，$O H=\frac{P O \cdot O D}{\sqrt{P O^{2}+O D^{2}}}=\frac{\sqrt{2} \times \frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
在Rt $\triangle O H C$ 中， $\sin \angle O C H=\frac{O H}{O C}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
故直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解 ，考查了运算推理的能力及空间想象的能力