2023_全国甲卷
21. 已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 交于 A B, 两点， $\left| A B \right| = 4 { \sqrt { 1 5 } }$
（1）求 p ；
②设 F 为C的焦点， M N, 为C上两点，且 $\overrightarrow { F M } \cdot \overrightarrow { F N } = 0$ ，求 $\triangle M F N$ 面积的最小值
(1) $p = 2$ >; (2) $1 2 - 8 { \sqrt { 2 } }$
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】① $p = 2$
> ② $1 2 - 8 { \sqrt { 2 } }$
【解析】
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；
> ②设直线MN ：x my n= + ， $M \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , N \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ , 利用 ${ \overrightarrow { M F } } \cdot { \overrightarrow { N F } } = 0$ <sub>，找到</sub>m n, <sub>关系，以及</sub>的 $\triangle M N F$ 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值
【小问1详解】
设 $A \left( x _ { _ { A } } , y _ { _ { A } } \right) , B \left( x _ { _ { B } } , y _ { _ { B } } \right)$
由 $\left\{ { \begin{array} { l } { x - 2 y + 1 = 0 } \\ { y ^ { 2 } = 2 p x } \end{array} } \right.$ 可得， $y ^ { 2 } - 4 p y + 2 p = 0$ ，所以 $y _ { _ { A } } + y _ { _ { B } } = 4 p , y _ { _ { A } } y _ { _ { B } } = 2 p$
所以 $\begin{array} { r } { \left| A B \right| = \sqrt { \left( x _ { { A } } - x _ { { B } } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { { A } } - y _ { { B } } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } \left| y _ { { A } } - y _ { { B } } \right| = \sqrt { 5 } \times \sqrt { \left( y _ { { A } } + y _ { { B } } \right) ^ { 2 } - 4 y _ { { A } } y _ { { B } } } = 4 \sqrt { 1 5 } \times \sqrt { \left( y _ { { A } } - y _ { { B } } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { { A } } - y _ { { B } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}$
即 $2 p ^ { 2 } - p - 6 = 0$ ，因为 $p > 0$ ，解得： $p = 2$
【小问2详解】
因为 $F ( 1 , 0 )$ ，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN： $x = m y + n , M \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , N \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$
由 $\left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { 2 } = 4 x } \\ { x = m y + n } \end{array} \right.$ 可得， $y ^ { 2 } - 4 m y - 4 n = 0$ ，所以， $y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 m , y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4 n$
$$ \Delta = 1 6 m ^ {2} + 1 6 n > 0 \Rightarrow m ^ {2} + n > 0, $$
因为 ${ \overrightarrow { M F } } \cdot { \overrightarrow { N F } } = 0$ ，所以 $\big ( x _ { 1 } - 1 \big ) \big ( x _ { 2 } - 1 \big ) + y _ { 1 } y _ { 2 } = 0$
$$ \left(m y _ {1} + n - 1\right) \left(m y _ {2} + n - 1\right) + y _ {1} y _ {2} = 0 $$
亦即 $\left( m ^ { 2 } + 1 \right) y _ { 1 } y _ { 2 } + m \left( n - 1 \right) \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) + \left( n - 1 \right) ^ { 2 } = 0$
将 $y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 m , y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4 n$ 代入得，
$$ 4 m ^ {2} = n ^ {2} - 6 n + 1, \quad 4 (m ^ {2} + n) = (n - 1) ^ {2} > 0, $$
所以 $n \neq 1$ ，且 $n ^ { 2 } - 6 n + 1 \geq 0$ ，解得 $n \geq 3 + 2 { \sqrt { 2 } }$ 或 $n \leq 3 - 2 { \sqrt { 2 } }$
设点F 到直线MN的距离为d，所以 $d = \frac { \left| n - 1 \right| } { \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } }$
$$ \left| M N \right| = \sqrt {\left(x _ {1} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {1} - y _ {2}\right) ^ {2}} = \sqrt {1 + m ^ {2}} \left| y _ {1} - y _ {2} \right| = \sqrt {1 + m ^ {2}} \sqrt {1 6 m ^ {2} + 1 6 n} $$
$$ = 2 \sqrt {1 + m ^ {2}} \sqrt {4 (n ^ {2} - 6 n + 1) + 1 6 n} = 2 \sqrt {1 + m ^ {2}} | n - 1 |, $$
所以 $\triangle M N F$ 的面积 $S = { \frac { 1 } { 2 } } \times \left| M N \right| \times d = { \frac { 1 } { 2 } } \times { \frac { \left| n - 1 \right| } { \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } } } \times 2 { \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } } \left| n - 1 \right| = \left( n - 1 \right) ^ { 2 }$
而 $n \geq 3 + 2 { \sqrt { 2 } }$ 或 $n \leq 3 - 2 { \sqrt { 2 } }$ ，所以，
当 $n = 3 - 2 { \sqrt { 2 } }$ 时， $\triangle M N F$ 的面积 $S _ { \mathrm { m i n } } = \left( 2 - 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 2 - 8 \sqrt { 2 }$
<sub>【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到</sub>m n, <sub>的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关</sub>系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值