（21）（本题 15 分）已知 $a$ 是实数，函数 $\int(x)=\sqrt{x}(x-a)$ 。
（I）求函数 $\int(x)$ 的单调区间；
（II）设 $g(a)$ 为 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最小值。
（i）写出 $g(a)$ 的表达式；
（ii）求 $a$ 的取值范围，使得 $-6 \leq g(a) \leq-2$ 。
参考答案本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。满分 $\mathbf{1 5}$ 分。 （ I ）解：函数的定义域为 $[0,+\infty)$ ， $f^{\prime}(x)=\sqrt{x}+\frac{x-a}{2 \sqrt{x}}=\frac{3 x-a}{2 \sqrt{x}} \quad(x>0)$. 若 $a \leqslant 0$ ，则 $f^{\prime}(x)>0$ ， $f(x)$ 有单调递增区间 $[0,+\infty)$ ． 若 $a>0$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=\frac{a}{3}$ ， 当 $0<x<\frac{a}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ， 当 $x>\frac{a}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ． $f(x)$ 有单调递减区间 $\left[0, \frac{a}{3}\right]$ ，单调递增区间 $\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ ． （II）解：（i）若 $a \leqslant 0, f(x)$ 在［0，2］上单调递增， 所以 $g(a)=f(0)=0$ ． 若 $0<a<6, f(x)$ 在 $\left[0, \frac{a}{3}\right]$ 上单调递减，在 $\left(\frac{a}{3}, 2\right]$ 上单调递增， 所以 $g(a)=f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}}$ ． 若 $a \geqslant 6, f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减， 所以 $g(a)=f(2)=\sqrt{2}(2-a)$ ． 综上所述，$g(a)= \begin{cases}0, & a \leqslant 0, \\ -\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}}, & 0<a<6, \\ \sqrt{2}(2-a), & a \geqslant 6 .\end{cases}$ （ii）令 $-6 \leqslant g(a) \leqslant-2$ ． 若 $a \leqslant 0$ ，无解． 若 $0<a<6$ ，解得 $3 \leqslant a<6$ ． 若 $a \geqslant 6$ ，解得 $6 \leqslant a \leqslant 2+3 \sqrt{2}$ ． 故 $a$ 的取值范围为 $3 \leqslant a \leqslant 2+3 \sqrt{2}$ ．