2023_全国乙卷
11. 如图，等边三角形 $\Delta A B C$ 位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
①B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
②C点处点电荷的电荷量。
<sub>【答案】（1）</sub>q<sub>，A、B、C均为正电荷；（2）</sub> ${ \frac { 3 - { \sqrt { 3 } } } { 3 } } q$
见解析
【解析】
【详解】（1）因为M点电场强度竖直向下，则C为正电荷，根据场强的叠加原理，可知A、B两点的电荷在M点的电场强度大小相等，方向相反，则B点电荷带电量为q，电性与A相同，又N点电场强度竖直向上，可得A处电荷在N点的场强垂直BC沿AN连线向右上，如图所示
可知A处电荷为正电荷，所以A、B、C均为正电荷。
（2）如图所示
由几何关系
$$ E _ {A} ^ {\prime} = E _ {B C} ^ {\prime} \cdot \tan 3 0 ^ {\circ} $$
即
$$ \frac {k q}{A N ^ {2}} = \frac {\sqrt {3}}{3} \Bigg (\frac {k q}{B N ^ {2}} - \frac {k q _ {C}}{C N ^ {2}} \Bigg) $$
其中
$$ A N = \sqrt {3} B N = \sqrt {3} C N $$
解得
$$ q _ {C} = \frac {3 - \sqrt {3}}{3} q $$