（5分）函数 f(x) 的定义域为 R，若 f(x+1)…——2009 高考数学第 11 题答案解析

【考点】31：奇函数、偶函数．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求 $f(x)$ 的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：$\because f(x+1)$ 与 $f(x-1)$ 都是奇函数，
∴ 函数 $f(x)$ 关于点（ 1,0 ）及点（ $-1,0$ ）对称，
$\therefore f(x)+f(2-x)=0, f(x)+f(-2-x)=0$ ，
故有 $\mathrm{f}(2-\mathrm{x})=\mathrm{f}(-2-\mathrm{x})$ ，
函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是周期 $\mathrm{T}=[2-(-2)]=4$ 的周期函数．
$\therefore f(-x-1+4)=-f(x-1+4)$ ，
$f(-x+3)=-f(x+3)$,
$f(x+3)$ 是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．