2022_全国甲卷
19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm ）的正方形， $\triangle E A B , \triangle F B C , \triangle G C D , \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直
（1）证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）
(1) 证明见解析； >; (2) ${ \frac { 6 4 0 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明见解析；
> ② ${ \frac { 6 4 0 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$
【解析】
【分析】（1）分别取AB BC, 的中点M N, ，连接MN，由平面知识可知 $E M \perp A B , F N \perp B C$ $E M = F N$ ，依题从而可证 $E M \perp$ 平面 $A B C D$ $F N \perp$ 平面 $A B C D$ ，根据线面垂直的性质定理可知$E M / / F N$ ，即可知四边形EMNF为平行四边形，于是 $E F / / M N$ ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取 $A D , D C$ 中点K L, ，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL EFGH- 的体积加上四棱锥 $B - M N F E$ 体积的4倍，即可解出
【小问1详解】
如图所示：
分别取 $A B , B C$ 的中点M N, ，连接MN，因为 $\triangle E A B , \triangle F B C$ 为全等的正三角形，所以$E M \perp A B , F N \perp B C$ $E M = F N$ ，又平面 $E A B \perp$ 平面ABCD，平面 $E A B \cap$ 平面 $A B C D = A B$ $E M \subset$ 平面EAB，所以 $E M \perp$ 平面 $A B C D$ ，同理可得FN ^平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知 $E M / / F N$ ，而 $E M = F N$ ，所以四边形EMNF为平行四边形，所以 $E F / / M N$ ，又 $E F \neq$ 平面ABCD， $M N \subset$ 平面 ABCD，所以EF / / 平面 ABCD
【小问2详解】
如图所示：
分别取 $A D , D C$ 中点K L, ，由（1）知， $E F / / M N$ 且 $E F = M N$ ，同理有， $H E / / K M , H E = K M$ $H G / / K L , H G = K L$ $G F / / L N , G F = L N$ ，由平面知识可知， $B D \perp M N$ $M N \perp M K$ $K M = M N = N L = L K$ ，所以该几何体的体积等于长方体 $K M N L - E F G H$ 的体积加上四棱锥$B - M N F E$ 体积的4倍
因为 $M N = N L = L K = K M = 4 { \sqrt { 2 } }$ $E M = 8 \sin 6 0 ^ { \circ } = 4 { \sqrt { 3 } }$ ，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d， $d = 2 \sqrt { 2 }$ ，所以该几何体的体积
$$ V = \left(4 \sqrt {2}\right) ^ {2} \times 4 \sqrt {3} + 4 \times \frac {1}{3} \times 4 \sqrt {2} \times 4 \sqrt {3} \times 2 \sqrt {2} = 1 2 8 \sqrt {3} + \frac {2 5 6}{3} \sqrt {3} = \frac {6 4 0}{3} \sqrt {3}. $$