2014_退役省自主命题 (2014·理)
23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 $C$ ．
（ I ）写出 $C$ 的参数方程；
（II）设直线 $l: 2 x+y-2=0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．
【答案】（I）$\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$（ t 为参数）；（II）$\rho=\frac{3}{4 \sin \theta-2 \cos \theta}$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）设 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为圆上的点，在曲线 C 上任意取一：（ $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ），再根据 $\left\{\begin{array}{l}x=x_{1} \\ y=2 y_{1}\end{array}\right.$ ，由于点（ $x_{1}, y_{1}$ ）在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上，求出 C 的方程，化为参数方洤。（II）解方和组求得 $P_{1} , P_{2}$ 的坐标，可得线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点坐标。再根据与 1 垂直的直线的斜率＂$\frac{1}{2}$ ，用点公试求得所霡的直线的方程，再根据 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可得所求的直线的权坐标方程。
试题解析：（I）设 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为圆上的点，在已知变换下位 $C$ 上点 $(x, y)$ ，依题意，得 $\left\{\begin{array}{l}x=x_{1} \\ y=2 y_{1}\end{array}\right.$ 由 $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=1$
得 $x^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1$ ，即曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，故 C 得参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=2 \sin t\end{array}\right.$（t 为参数）．
（II）由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 \\ 2 x+y-2=0\end{array}\right.$ 解得：$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=0\end{array}\right.$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$ ．
不妨设 $P_{1}(1,0), P_{2}(0,2)$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点坐 + 为 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，所求直线的斜率为 $k=\frac{1}{2}$ ，于是所求直线方程为 $y-1=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)$,
化极坐标方程，并整理得
$2 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta=-3$ ，即 $\rho=\frac{3}{4 \sin \theta-2 \cos \theta}$ ．
考点：1．参数方程化成普通方程；2．点的极坐标和直角坐标的互化．