2016_浙江卷
14．（4 分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1， ${ \mathrm { A D } } = { \sqrt { 5 } } ,$
$\angle A \mathrm { D C = 9 0 ^ { \circ } }$ ，沿直线AC将△ACD翻折成 $\triangle \mathrm { A C D } ^ { \prime }$ ，直线AC与 $\mathrm { B D } ^ { \prime }$ 所成角的余弦的最大值是$\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
${ \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } } .$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { A C D } ^ { \prime }$ 中， $\scriptstyle { \mathrm { A C } } = { \sqrt { 6 } }$ ．作$\mathrm { D ^ { \prime } ~ \ E \perp A C }$ ，垂足为E， $D ^ { \prime } \mathrm { ~ \cal ~ E = } \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } . \mathrm { ~ \ C 0 = } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } , \mathrm { ~ \ C E = } \frac { \mathrm { ~ D ~ } ^ { \prime } \mathrm { ~ \Lambda ~ } \subset } { \mathrm { ~ \Lambda ~ } \overline { { { \sf { C A } } } } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } ,$ ，EO $= C 0 - C E = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } \cdot$ ．过点B作BF∥BO，作 FE∥BO 交 BF 于点 F，则 EF⊥AC．连接 $\mathrm { D ^ { \prime } } \mathrm { ~ F . ~ } \angle \mathrm { F B D ^ { \prime } }$ 为直线 $\mathrm { A C }$ 与 $\mathrm { B D } ^ { \prime }$ 所成的
角．则四边形BOEF为矩形， ${ \mathrm { B F = E 0 } } { = } \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } . \mathrm { E F = B 0 } { = } \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 }$ ．则 $\angle \mathrm { F E D } ^ { \prime }$ 为二面角 $\mathrm { ~ D ^ { \prime } ~ \mathrm { ~ ~ { ~ - ~ } C A ^ { \mathrm { ~ - ~ } B } } }$ 的平
面角，设为θ．利用余弦定理求出 $\mathrm { D ^ { \prime } }$ F2的最小值即可得出
【解答】解：如图所示，取AC的中点 $0 , \because A B = B C = 3 , \therefore B O \bot A C$
在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { A C D } ^ { \prime }$ 中， $A C = \sqrt { 1 ^ { 2 } + ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 6 } .$
作 $\mathrm { D ^ { \prime } ~ E \bot A C }$ ，垂足为E， $\mathrm { D ^ { \prime } } \mathrm { E } { = } \frac { 1 \times \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } } { = } \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } .$
$\mathrm { C O = } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } \mathrm { , ~ \ C E = \frac { D ^ { ' } ~ C ^ { 2 } } { C A } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } \mathrm { , } }$
$\therefore \mathrm { E 0 = C 0 } - \mathrm { C E = } \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } .$
过点 B 作 BF∥BO，作 FE∥BO 交 BF 于点 F，则 EF⊥AC．连接 $\mathrm { D ^ { \prime } } \mathrm { F } . \\\\\\\angle \mathrm { F B D ^ { \prime } }$ 为直线AC与 $\mathrm { B D } ^ { \prime }$
所成的角
则四边形BOEF为矩形， $\therefore B F = E 0 = { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } .$
$\mathrm { E F { = } B O { = } \sqrt { 3 ^ { 2 } - { \it \Omega } ( \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } ) { \it \Omega } ^ { 2 } } { = } \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 } . }$
则 $\angle \mathrm { F E D } ^ { \prime }$ 为二面角 $\mathrm { ~ D ^ { \prime } ~ \mathrm { ~ ~ { ~ - ~ } C A ^ { \mathrm { ~ - ~ } B } } }$ 的平面角，设为θ
则 $\mathrm { ~ D ' ~ \ F _ { = } ~ } ( \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } ) ^ { \mathrm { ~ ~ ~ 2 ~ } } ( \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 } ) ^ { \mathrm { ~ ~ ~ 2 ~ } } - 2 \times \frac { \sqrt { 3 0 } } { 6 } \times \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 } \cos \theta = \frac { 2 5 } { 3 } - 5 \cos \theta \geq \frac { 1 0 } { 3 } , \cos \theta = 1$ 时取
等号．
$\therefore 0 ^ { \prime } \mathrm { ~ B ~ }$ 的最小值 $= \sqrt { \frac { 1 0 } { 3 } + ( \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } ) ^ { 2 } } = 2$
$\therefore$ 直线 $\mathrm { A C } \mathrm { B D } ^ { \prime }$ 所成角的余弦的最大值 $= \frac { \tt B F } { \tt D ^ { ' } } - \frac { \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } } { 2 } = \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } .$
故答案为： ${ \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } } .$
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题