2013_退役省自主命题 (2013·文)
（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，体积为 $V$ 立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100 元／平方米，底面的建造成本为 160 元／平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 $\pi$ 元（ $\pi$ 为圆周率）。
（I）将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V(r)$，并求该函数的定义域；
（II）讨论函数 $V(r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大．
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】：（I）蓄水池侧面的总成本为 $100 \cdot 2 \pi r h=200 \pi r h$ 元，底面的总成本为 $160 \pi r^{2}$ 元，所以蓋水池的总成本为 $\left(200 \pi r h+160 \pi r^{2}\right)$ 元又据题意 $200 \pi r h+160 \pi r^{2}=12000 \pi$所以 $h=\frac{1}{5 r}\left(300-4 r^{2}\right)$ 从而 $V(r)=\pi r^{2} h=\frac{\pi}{5}\left(300 r-4 r^{3}\right)$ 因 $r>0$ 又由 $h>0$ 可得 $r<5 \sqrt{3}$ 故函数 $V(r)$ 的定义域 $(0,5 \sqrt{3})$
（II）因 $V(r)=\frac{\pi}{5}\left(300 r-4 r^{3}\right)$ 故 $V^{\prime}(r)=\frac{\pi}{5}\left(300-12 r^{2}\right)$ 令 $V^{\prime}(r)=0$，解得 $r_{1}=5, r_{2}=-5$（不在定义域内，舍去）当 $r \in(0,5)$ 时 $V^{\prime}(r)>0$ 故 $V(r)$ 在 $(0,5)$ 上为增函数；当 $r \in(5,5 \sqrt{3})$ 时 $V^{\prime}(r)<0$ 故 $V(r)$ 在 $(5,5 \sqrt{3})$ 上为减函数；由肌可知 $V(r)$ 在 $r=5$ 处取得最大值，此时 $h=8$，即当 $r=5, h=8$ 时该蓄水池的体积最大