设 a = 0 . 1 e ^ 0 . 1 , b = 1…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【解析】【分析】构造函数 $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x$ ， 导数判断其单调性，由此确定a b c, , 大小.的【详解】设 $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x ( x > - 1 )$ ，因为 $f ^ { ' } ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x } - 1 = - \frac { x } { 1 + x } ,$ 当 x Î -( 1,0) 时， $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，当 $x \in ( 0 , + \infty )$ 时 $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ 所以函数 f x x x( ) ln(1 )= + - 在 $( 0 , + \infty )$ 单调递减，在( 1,0)- 上单调递增，所以 $f ( \frac { 1 } { 9 } ) < f ( 0 ) = 0$ ，所以 $\ln { \frac { 1 0 } { 9 } } - { \frac { 1 } { 9 } } < 0$ ，故 ${ \frac { 1 } { 9 } } > \ln { \frac { 1 0 } { 9 } } = - \ln 0 . 9$ ，即 $b > c$ 所以 $f ( - \frac { 1 } { 1 0 } ) < f ( 0 ) = 0$ ，所以 $\ln { \frac { 9 } { 1 0 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } < 0$ ，故 $\frac { 9 } { 1 0 } < \tt { e } ^ { - \frac { 1 } { 1 0 } }$ ，所以 $\frac { 1 } { 1 0 } \mathbf { e } ^ { \frac { 1 } { 1 0 } } < \frac { 1 } { 9 }$ 故 $a < b$ 设 $g ( x ) = x { \mathrm { e } } ^ { x } + \ln ( 1 - x ) ( 0 < x < 1 )$ ，则 $g ^ { \prime } ( x ) = \left( x + 1 \right) \mathbf { e } ^ { x } + { \frac { 1 } { x - 1 } } = { \frac { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) \mathbf { e } ^ { x } + 1 } { x - 1 } } =$ 令 $h ( x ) = \mathbf { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } - 1 ) + 1 , h ^ { \prime } ( x ) = \mathbf { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } + 2 x - 1 )$ 当 $0 < x < \sqrt { 2 } - 1$ 时， $h ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，函数 $h ( x ) = \mathbf { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } - 1 ) + 1$ 单调递减，当 $\sqrt { 2 } - 1 < x < 1$ 时， $h ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，函数 $h ( x ) = \mathbf { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } - 1 ) + 1$ 单调递增，又 $h ( 0 ) = 0$ 所以当 $0 < x < \sqrt { 2 } - 1$ 时， $h ( x ) < 0$ 所以当 $0 < x < \sqrt { 2 } - 1$ 时， $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，函数 $g ( x ) = x \mathbf { e } ^ { x } + \ln ( 1 - x )$ 单调递增，所以 $g ( 0 . 1 ) > g ( 0 ) = 0$ ，即 $0 . 1 \mathrm { e } ^ { 0 . 1 } > - \ln { 0 . 9 }$ ，所以 $a > c$ 故选：C.