【答案】（Ⅰ） $( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - { \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } = 2$ ；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）依题意，设C(1r)（r为圆的半径），因为 $\mid A B \mid = 2$ ，所以 $r = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }$ ，所以圆心$C ( 1 , { \sqrt { 2 } } )$ ，故圆的标准方程为 $( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - { \sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } = 2$
（Ⅱ)联立方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 } \\ { ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = 2 } \end{array} \right.$ ，解得 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 } \\ { y = { \sqrt { 2 } } - 1 } \end{array} \right. }$ 或 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 } \\ { y = { \sqrt { 2 } } + 1 } \end{array} \right. }$ ，因为B在A的上方，所以 $A ( 0 , \sqrt { 2 } - 1 ) , B ( 0 , \sqrt { 2 } + 1 )$
令直线MN的方程为x=0，此时MM(0.-1)，N(0.1)，
所以 $| M A | = \sqrt { 2 } \ , \ | M B | = 2 + \sqrt { 2 } \ , \ | N A | = 2 - \sqrt { 2 } \ , \ | N B | = \sqrt { 2 }$
因为 ${ \frac { | \ N A | } { | \ N B | } } = { \frac { 2 - { \sqrt { 2 } } } { 2 } } = 1 - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \ , \ { \frac { | \ M A | } { | \ M B | } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 + { \sqrt { 2 } } } } = { \sqrt { 2 } } - 1$ ，所以 $\frac { \left| N A \right| } { \left| N B \right| } { = } \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| }$
所以 ${ \frac { \left| N B \right| } { \left| N A \right| } } - { \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 - { \sqrt { 2 } } } } - { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } + 2 } } = { \sqrt { 2 } } + 1 - ( { \sqrt { 2 } } - 1 ) = 2 \ .$
$$
\frac { \left| N B \right| } { \left| N A \right| } + \frac { \left| M A \right| } { \left| M B \right| } { = } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 - \sqrt { 2 } } + \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } + 2 } = \sqrt { 2 } - 1 + \sqrt { 2 } + 1 = 2 \sqrt { 2 } \ ,
$$
正确结论的序号是①②③
【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系.
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略. 常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等
