（5分）（2008•陕西）长方体 ABCD - A _ 1…——2008 高考数学第 8 题答案解析

【考点】球面距离及相关计算．
【专题】计算题．
【分析】设出 AD ，然后通过球的直径求出 AD ，解出 $\angle \mathrm{AOB}$ ，可求 A ， B 两点的球面距离．
【解答】解：设 $\mathrm{AD}=\mathrm{a}$ ，则 $\mathrm{AB}=2 \mathrm{a}, \mathrm{A}_{1}=\sqrt{3} \mathrm{a} \Rightarrow$ 球的直径 $2 \mathrm{R}=\sqrt{\mathrm{a}^{2}+4 \mathrm{a}^{2}+3 \mathrm{a}^{2}}=2 \sqrt{2} \mathrm{a}$
即 $R=\sqrt{2} a$ ，在 $\triangle A O B$ 中，$O A=O B=R=\sqrt{2} a, A B=2 a$ ，
$\Rightarrow \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{AB}^{2} \Rightarrow \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$ 从而 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 点的球面距离为 $\frac{1}{4} \cdot 2 \pi=\frac{\pi}{2}$
故选C．
【点评】本题考查球面距离及其他计算，实际上是球的内接长方体问题，考查学生发现问题解决问题能力 ，是基础题．