（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A , B…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（2011•湖南）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c \sin A=a \cos C$ ．
①求角 $C$ 的大小；
②求 $\sqrt{3} \sin A-\cos \left(B+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A , B$ 的大小．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
分析：①利用正弦定理化简 $c \sin A=a \cos C$ ．求出 $\tan C=1$ ，得到 $C=\frac{\pi}{4}$ ．
②$B=\frac{3 \pi}{4}-A$ ，化简 $\sqrt{3} \sin A-\cos \quad\left(B+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$ 。因为 $0求出 $2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$ 取得最大值 2 ．得到 $A=\frac{\pi}{3}, B=\frac{5 \pi}{12}$
解答：解：（1）由正弦定理得 $\sin C \sin A=\sin A \cos C$ ，
因为 $00$ ．从而 $\sin C=\cos C$ ，
又 $\cos C \neq 0$ ，所以 $\tan C=1, C=\frac{\pi}{4}$ ．
②有（1）知，$B=\frac{3 \pi}{4}-A$ ，于是 $\sqrt{3} \sin A^{-} \cos \left(B+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3} \sin A^{-} \cos \left(\pi^{-} A\right)$
$=\sqrt{3} \sin A+\cos A$
$=2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$ ．
因为 $0从而当 $A+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ，即 $A=\frac{\pi}{3}$ 时

$2 \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$ 取得最大值 2 。
综上所述，$\sqrt{3} \sin A-\cos \left(B+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值为 2 ，此时 $A=\frac{\pi}{3}, B=\frac{5 \pi}{12}$
点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型。