2013_退役省自主命题 (2013·理)
17．（本小题满分 12 分）
正项数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 满足：$S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-1\right) S_{n}-\left(n^{2}+n\right)=0$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$；
（2）令 $b_{n}=\frac{n+1}{(n+2)^{2} a_{n}^{2}}$，数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$．证明：对于任意 $\mathrm{n} \in \mathrm{N} *$，都有 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}< \frac{5}{64}$.
2 n
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 2 n
【解析】①
$\because S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-1\right) S_{n}-\left(n^{2}+n\right)=0, \therefore\left[S_{n}-\left(n^{2}+n\right)\right]\left(S_{n}+1\right)=0$，
$\because a_{n}>0, S_{n}>0, \therefore S_{n}=n^{2}+n, \therefore S_{n+1}=(n+1)^{2}+(n+1)$，两式相减得：
$a_{n+1}=2(n+1), \therefore a_{n}=2 n$．
形如已知 $\mathrm{a}_{-}$和 $\mathrm{S}_{-}$大小关系的问题一般都要此解法完成，这是对概念的理解和把握，求解过程要注意项数 n 的取值与通项的统一性。
> ②由①代入得
$$ \begin{aligned} b_{n}= & \frac{n+1}{(n+2)^{2} a_{n}^{2}}=\frac{n+1}{(n+2)^{2}(2 n)^{2}}=\frac{1}{16}\left[\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right] \\ \therefore T_{n} & =\frac{1}{16}\left[1-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{5^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right] \\ = & \frac{1}{16}\left[1+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right] \\ & <\frac{1}{16}\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)=\frac{5}{64} \end{aligned} $$
本题用裂项法求和的最大障碍是裂项的技巧，注意学习和积累。
【考点定位】本题主要考查数列的概念、通项、前 n 项的和的基础知识，考查数列求通项、求和的思想和方法，考查分析问题解答问题的能力．