2014_退役省自主命题 (2014·文)
20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（20）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}$．
（I）证明：$B C \perp$ 平面 $P O M$；
（II）若 $M P \perp A P$，求四棱锥 $P-A B M O$ 的体积．
题（20）图
【答案】（I）详见解析；（II）$\frac{5}{16}$．
## 【解析】
试题分析：（I）因为 $P O \perp$ 底面 $A B C D$，所以有 $P O \perp B C$，因此欲证 $B C \perp$ 平面 $P O M$，只要证 $B C \perp O M$，而这一点可通过连结 $O B$，利用菱形的性质及勾股定理解决．
（II）欲求四棱锥 $P-A B M O$ 的体积，必须先求出 $|P O|$，连结 $A M$，设 $|P O|=x$，在 $\triangle A B M$ 利用余弦定理求出 $|A M|$，由三个直角三角形 $P A O, P M O, P A M$，依据勾股定理建立关于 $x$ 的方程即可．试题解析：
解：
答（20）图
（I）如答（20）图，因 $A B C D$ 为薂形，$O$ 为菱形中心，连结 $O B$，则 $A O \perp O B$，因 $\angle B A D=\frac{\pi}{3}$，故 $O B=A B \cdot \sin \angle O A B=2 \sin \frac{\pi}{6}=1$
又因为 $B M=\frac{1}{2}$，且 $\angle O B M=\frac{\pi}{3}$，在 $\triangle O B M$ 中
$O M^{2}=O B^{2}+B M^{2}-2 O B \cdot B M \cdot \cos \angle O B M$
$=1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times \cos \frac{\pi}{3}=\frac{3}{4}$
所以 $O B^{2}=O M^{2}+B M^{2}$，故 $O M \perp B M$
又 $P O \perp$ 底面 $A B C D$，所以 $P O \perp B C$，从而 $B C$ 与严面 $P O M$ 内两条相交直线 $O M, P O$ 都垂直，所以 $B C \perp$ 平面 $P O M$．
（II）解：由（I）可知，$O A=A B \cdot \cos \angle O A B=2 \cdot \cos \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$
设 $P O=a$，由 $P O \perp$ 底面 $A B C D$ 知，$\triangle P O A$ 为直角三角形，故
$$ P A^{2}=P O^{2}+O A^{2}=a^{2}+3 $$
由 $\triangle P O M$ 也是直角三角形，故 $P M^{2}=P O^{2}+O M^{2}=a^{2}+\frac{3}{4}$
连结 $A M$，在 $\triangle A B M$ 中，$A M^{2}=A B^{2}+B M^{2}-2 A B \cdot B M \cdot \cos \angle A B M$
$=2^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \frac{2 \pi}{3}=\frac{21}{4}$
由已知 $M P \perp A P$，故 $\triangle A P M$ 为直角三角形，则
$P A^{2}+P M^{2}=A M^{2}$
即 $a^{2}+3+a^{2}+\frac{3}{4}=\frac{21}{4}$，得 $a=\frac{\sqrt{3}}{2}, a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍去），即 $P O=\frac{\sqrt{3}}{2}$
此时 $S_{A B M O}=S_{\triangle A O B}+S_{\triangle Q M B}=\frac{1}{2} \cdot A O \cdot O B+\frac{1}{2} \cdot B M \cdot O M$
$$ =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5 \sqrt{3}}{8} $$
所以四棱锥 $P-A B M O$ 的体积
$$ V_{P-A E M O}=\frac{1}{3} \cdot S_{A B M O} \cdot P O=\frac{1}{3} \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{16} $$
考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间几何体的体积．3、余弦定理及勾股定理．