20．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
如题（20）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}$．
（I）证明：$B C \perp$ 平面 $P O M$；
（II）若 $M P \perp A P$，求四棱锥 $P-A B M O$ 的体积．
题（20）图
参考答案（I）详见解析；（II）$\frac{5}{16}$．