2012_省自主命题（湖北）
13.已知向量 $\stackrel { } { a } = \mathrm { \Phi } ( 1 , 0 ) , \vec { b } = \mathrm { \Phi } ( 1 , 1 )$ ），则
（Ⅰ）与 $2 \vec { a } + \vec { b }$ 同向的单位向量的坐标表示为
（Ⅱ）向量 $\vec { b } - 3 \vec { a }$ 与向量 $\vec { a }$ 夹角的余弦值为
（I） $( \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } , \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ) ; ( \mathrm { ~ I I ~ } ) \frac { - 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（I） $( \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } , \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ) ; ( \mathrm { ~ I I ~ } ) \frac { - 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
【解析】（I)因为 $2 \overline { { a } } + \overline { { b } } = ( 3 , 1 )$ ，所以其模为 $\sqrt { 1 0 }$ ，所以与 $2 \overline { a } \div \overline { b }$ 同向的单位向量的坐标为$( \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } , \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } )$ ;(Ⅱ)因为 $\overline { { b } } - 3 \overline { { a } } = ( - 2 , 1 ) , \overline { { a } } = ( 1 , 0 )$ ,所以 $( \overrightarrow { b } - 3 \overrightarrow { a } ) \cdot \overrightarrow { a } = - 2 , \vert \overrightarrow { b } - 3 \overrightarrow { a } \vert = \sqrt { 5 }$ $\mid \overline { { { a } } } \mid = 1$ ，所以向量 $\overline { { b } } - 3 \overline { { a } }$ 与向量 $\mathbf { \Pi } _ { \overline { { a } } } ^ { - }$ 夹角的余弦值为 $\frac { - 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$
【考点定位】本小题考查平面向量的坐标运算.平面向量作为解题的工具，是高考的重点内容之一，经常以选择或填空题的形式单独考查平面向量，平面向量还经常与三角函数、不等式、解析几何等知识相结合，以解答题的形式出现，综合性较强