（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，E F∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1， ${ \mathrm { A E } } { = } { \sqrt { 6 } } ,$ $\angle B _ { \mathrm { A D } } = 6 0 ^ { \circ }$ ，G为BC的中点

（1）求证：FG∥平面BED；

（2）求证：平面BED⊥平面AED；

（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值

【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据余弦定理求出 $\mathrm { B D } { = } { \sqrt { 3 } } ,$ ，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明

（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案

【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在 $\triangle \mathrm { B C D }$ 中，

∵G是BC的中点，

∴OG∥DC，且 $\mathrm { O G { = } \frac { 1 } { 2 } D C { = } 1 }$

又∵EF∥AB，AB∥DC，

∴EF∥OG，且EF=0G，

即四边形OGEF是平行四边形，

∴FG∥OE，

$\because \operatorname { F G } \neq \cdot$ 平面BED，OE⊂平面BED，

∴FG∥平面BED；

（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2， $\angle B _ { \mathrm { A D } } = 6 0 ^ { \circ }$

由余弦定理可得 $\mathrm { B D } { = } { \sqrt { 3 } } ,$ ，仅而 $\angle \mathrm { A D B = 9 0 ^ { \circ } }$

即BD⊥AD，

又∵平面 $\mathrm { \bf A E D \perp }$ 平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，

∴BD⊥平面AED，

$\because \mathrm { B D } \subset \cdot$ 平面BED，

∴平面BED⊥平面AED

（Ⅲ）∵EF∥AB，

∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，
过点A作 $\mathbf { A H \bot D E }$ 于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，

由（2）知 $\mathrm { | A H \perp }$ 平面BED，

∴直线AB与平面BED所成的角为 $\angle A \mathrm { B H }$

在 $\triangle \mathrm { A D E }$ ，AD=1，DE=3， $\scriptstyle \mathbf { A E } = { \sqrt { 6 } } ,$ ，由余弦定理得 $\cos \angle A D E = \frac { 2 } { 3 }$

$$ \therefore \sin \angle A D E = { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } , $$

$$ \therefore \mathrm { A H } = \mathrm { A D } \bullet { \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } } , $$

在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { A H B }$ 中， $\sin \angle A B H = \frac { A H } { A B } = \frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$

∴直线EF与平面BED所成角的正弦值 $\frac { \sqrt { 5 } } { 6 }$

【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题