（13 分）在 A B C 中， a=3, b-c=2,…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【分析】（I）利用余弦定理可得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$ ，代入已知条件即可得到关于 $b$ 的方程，解方程即可；
（II） $\sin (B-C)=\sin B \cos C-\cos B \sin C$ ，根据正弦定理可求出 $\sin C$ ，然后求出 $\cos C$ ，代入即可得解．

【解答】解：（ I ）$\because a=3, b-c=2, \cos B=-\frac{1}{2}$ ．
∴ 由余弦定理，得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$
$=9+(b-2)^{2}-2 \times 3 \times(b-2) \times\left(\frac{1}{2}\right)$ ，
$\therefore b=7, \quad \therefore c=b-2=5$ ；
（II）在 $\triangle A B C$ 中，$\because \cos B=-\frac{1}{2}, \therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
由正弦定理有：$\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{C}=\frac{\operatorname{csin} \mathrm{B}}{\mathrm{b}}=\frac{5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，
$\because b>c, \quad \therefore B>C, \quad \therefore C$ 为锐角，
$\therefore \cos C=\frac{11}{14}$ ，
$\therefore \sin (B-C)=\sin B \cos C-\cos B \sin C$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{11}{14}-\left(-\frac{1}{2}\right) \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}$
$=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．