（5分）若 a>b>0，且 a b=1，则下列不等式成立的…——2017 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•山东）若 $a>b>0$ ，且 $a b=1$ ，则下列不等式成立的是（ ）
A．$\left.a+\frac{1}{b}<\frac{b}{2^{a}}<\log _{2}(a+b)\right)$
B．$\frac{\mathrm{b}}{2^{\mathrm{a}}}<\log _{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})<\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{~b}}$
C．$a+\frac{1}{b}<\log _{2}(a+b)<\frac{b}{2^{a}}$
D． $\left.\log _{2}(a+b)\right)<a+\frac{1}{b}<\frac{b}{2^{a}}$

【解答】解：$\because a>b>0$ ，且 $a b=1$ ，
∴ 可取 $a=2, b=\frac{1}{2}$ ．
则 $\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{~b}}=4, \frac{\mathrm{~b}}{2^{\mathrm{a}}}=\frac{\frac{1}{2}}{2^{2}}=\frac{1}{8}, \log _{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})=\log _{2}\left(2+\frac{1}{2}\right)=\log _{2} \frac{5}{2} \in(1,2)$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{b}}{2^{\mathrm{a}}}<\log _{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b})<\mathrm{a}+\frac{1}{\mathrm{~b}}$ ．
故选：B．