在 A B C 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a=3, c=\sqrt{2}, B=45^{\circ}$ ．

（1）求 $\sin C$ 的值；
（2）在边 $B C$ 上取一点 $D$ ，使得 $\cos \angle A D C=-\frac{4}{5}$ ，求 $\tan \angle D A C$ 的值．
【答案】① $\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ；② $\tan \angle D A C=\frac{2}{11}$ ．
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求得 $b$ ，利用正弦定理求得 $\sin C$ ．
（2）根据 $\cos \angle A D C$ 的值，求得 $\sin \angle A D C$ 的值，由①求得 $\cos C$ 的值，从而求得 $\sin \angle D A C, \cos \angle D A C$ 的值，进而求得 $\tan \angle D A C$ 的值．

【详解】①由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=9+2-2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=5$ ，所以 $b=\sqrt{5}$ ．
由正弦定理得 $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin C=\frac{c \sin B}{b}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
②由于 $\cos \angle A D C=-\frac{4}{5}, \angle A D C \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，所以 $\sin \angle A D C=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle A D C}=\frac{3}{5}$ ．
由于 $\angle A D C \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，所以 $C \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^{2} C}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
所以 $\sin \angle D A C=\sin (\pi-\angle D A C)=\sin (\angle A D C+\angle C)$
$=\sin \angle A D C \cdot \cos C+\cos \angle A D C \cdot \sin C=\frac{3}{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2 \sqrt{5}}{25}$.
由于 $\angle D A C \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $\cos \angle D A C=\sqrt{1-\sin ^{2} \angle D A C}=\frac{11 \sqrt{5}}{25}$ ．
所以 $\tan \angle D A C=\frac{\sin \angle D A C}{\cos \angle D A C}=\frac{2}{11}$ ．

【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题．