2020 江苏卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{0,2,3\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

2．已知 i 是虚数单位，则复数 $z=(1+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})$ 的实部是 $\_\_\_\_$ ．

3．已知一组数据 $4,2 a, 3-a, 5,6$ 的平均数为 4 ，则 $a$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 $\_\_\_\_$ ．

5．如图是一个算法流程图，若输出 $y$ 的值为 -2 ，则输入 $x$ 的值是 $\_\_\_\_$。 

6．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(\mathrm{a}>0)$ 的一条渐近线方程为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

7．已知 $y=f(x)$ 是奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(-8)$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

8．已知 $\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

9．如图，六角螺帽毛坏是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm ，高为 2 cm ，内孔半轻为 0.5 cm ，则此六角螺帽毛坏的体积是 $\_\_\_\_$ cm． 

10．将函数 $y=3 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与 $y$ 轴最近的对称轴的方程是 $\_\_\_\_$ ．

11．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1(x, y \in R)$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

13．在 $\triangle A B C$ 中，$A B=4, A C=3, \angle B A C=90^{\circ}, D$ 在边 $B C$ 上，延长 $A D$ 到 $P$ ，使得 $A P=9$ ，若 $\overrightarrow{P A}=m \overrightarrow{P B}+\left(\frac{3}{2}-m\right) \overrightarrow{P C}$（ $m$ 为常数），则 $C D$ 的长度是 $\_\_\_\_$ ． 

14．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right), A, B$ 是圆 $C: x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=36$ 上的两个动点，满足 $P A=P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是 $\_\_\_\_$。

15．在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B \perp A C, B_{1} C \perp$ 平面 $A B C, E, F$ 分别是 $A C, B_{1} C$ 的中点．  （1）求证：$E F / /$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ； （2）求证：平面 $A B_{1} C \perp$ 平面 $A B B_{1}$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a=3, c=\sqrt{2}, B=45^{\circ}$ ．  （1）求 $\sin C$ 的值； （2）在边 $B C$ 上取一点 $D$ ，使得 $\cos \angle A D C=-\frac{4}{5}$ ，求 $\tan \angle D A C$ 的值．

17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的坚直截面图如图所示：谷底 $O$ 在水平线 $M N$ 上、桥 $A B$ 与 $M N$平行，$O O^{\prime}$ 为铅垂线（ $O^{\prime}$ 在 $A B$ 上）．经测量，左侧曲线 $A O$ 上任一点 $D$ 到 $M N$ 的距离 $h_{1}$（米）与 $D$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离 $a$ （米）之间满足关系式 $h_{1}=\frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线 $B O$ 上任一点 $F$ 到 $M N$ 的距离 $h_{2}$（米）与 $F$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离 $b$（米）之间满足关系式 $h_{2}=-\frac{1}{800} b^{3}+6 b$ ．已知点 $B$ 到 $O O^{\prime}$ 的距离为 40 米．  （1）求桥 $A B$ 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{\prime}$ 的桥墩 $C D$ 和 $E F$ ，且 $C E$ 为 80 米，其中 $C, E$ 在 $A B$ 上（不包括端点）．桥 墩 $E F$ 每米造价 $k$（万元）、桥墩 $C D$ 每米造价 $\frac{3}{2} k$（万元）（ $k>0$ ）。问 $O^{\prime} E$ 为多少米时，桥墩 $C D$ 与 $E F$ 的总造价最低？

18．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在椭圆 $E$ 上且在第一象限内，$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，直线 $A F_{1}$ 与椭圆 $E$ 相交于另一点 $B$ ．  （1）求 $\triangle A F_{1} F_{2}$ 的周长； （2）在 $x$ 轴上任取一点 $P$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $E$ 的右准线相交于点 $Q$ ，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{Q P}$ 的最小值； （3）设点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，记 $\triangle O A B$ 与 $\triangle M A B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{2}=3 S_{1}$ ，求点 $M$ 的坐标．

19．已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x), y=g(x)$ 与 $h(x)=k x+b(k, b \in \mathbf{R})$ 在区间 $D$ 上恒有 $f(x) \geq h(x) \geq g(x)$ ． （1）若 $f(x)=x^{2}+2 x, g(x)=-x^{2}+2 x, D=(-\infty,+\infty)$ ，求 $h(x)$ 的表达式； （2）若 $f(x)=x^{2}-x+1, g(x)=k \ln x, h(x)=k x-k, D=(0,+\infty)$ ，求 $k$ 的取值范围； （3）若 $f(x)=x^{4}-2 x^{2}, g(x)=4 x^{2}-8, h(x)=4\left(t^{2}-t\right) x-3 t^{4}+2 t^{2}(0<|t| \leqslant \sqrt{2}), D=[m, n] \subseteq[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ ，求证：$n-m \leq \sqrt{7}$ ．

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为＂$\lambda-k$＂数列． （1）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\lambda-1$＂数列，求 $\lambda$ 的值； （2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$＂数列，且 $a_{n}>0$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （3）对于给定的 $\lambda$ ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-$ 3＂数列，且 $a_{n} \geq 0$ ？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由， ## 数学 II（附加题） 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ## A．［选修4－2：矩阵与变换］

21．平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{ll}a & 1 \\ -1 & b\end{array}\right]$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$ ． （1）求实数 $a, b$ 的值； （2）求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$ 。 ## B．［选修4－4：坐标系与参数方程］

22．在极坐标系中，已知点 $A\left(\rho_{1}, \frac{\pi}{3}\right)$ 在直线 $l: \rho \cos \theta=2$ 上，点 $B\left(\rho_{2}, \frac{\pi}{6}\right)$ 在圆 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上（其中 $\rho \geq 0, \quad 0 \leq \theta<2 \pi)$. （1）求 $\rho_{1}, \rho_{2}$ 的值 （2）求出直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的极坐标． ## C．［选修4－5：不等式选讲］

23．设 $x \in \mathbf{R}$ ，解不等式 $2|x+1|+|x| \leq 4$ ． 【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

24．在三棱锥 $A$ — $B C D$ 中，已知 $C B=C D=\sqrt{5}, B D=2, O$ 为 $B D$ 的中点，$A O \perp$ 平面 $B C D, A O=2, E$ 为 $A C$ 的中点．  （1）求直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值； （2）若点 $F$ 在 $B C$ 上，满足 $B F=\frac{1}{4} B C$ ，设二面角 $F-D E-C$ 的大小为 $\theta$ ，求 $\sin \theta$ 的值．

25．甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球。现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有 2 个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有 1 个黑球的概 率为 $q_{n}$ ． （1）求 $p_{1} \cdot q_{1}$ 和 $p_{2} \cdot q_{2}$ ； （2）求 $2 p_{n}+q_{n}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$（用 $n$ 表示）。 ## 答案解析