设函数 f(x)=|2 x+1|+|x-1| ． （1）画…——2018 高考数学第 23 题答案解析

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可。
【解答】解：（1）当 $x \leq-\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=-(2 x+1)-(x-1)=-3 x$ ，
当 $-\frac{1}{2}当 $x \geq 1$ 时，$f(x)=(2 x+1)+(x-1)=3 x$ ，
则 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-3 x, & x \leqslant-\frac{1}{2} \\ x+2, & -\frac{1}{2}画出 $y=f(x)$ 的图象；
（2）当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$f(x) \leq a x+b$ ，
当 $x=0$ 时，$f(0)=2 \leq 0 \bullet a+b, \quad \therefore b \geq 2$ ，
当 $x>0$ 时，要使 $f(x) \leq a x+b$ 恒成立，
则函数 $f(x)$ 的图象都在直线 $y=a x+b$ 的下方或在直线上，
$\because f(x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点的纵坐标为 2 ，
且各部分直线的斜率的最大值为 3 ，
故当且仅当 $a \geq 3$ 且 $b \geq 2$ 时，不等式 $f(x) \leq a x+b$ 在 $[0,+\infty)$ 上成立，

即 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ 的最小值为5．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键。