2018 新课标 III 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{x \mid x-1 \geq 0\}, B=\{0,1,2\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5分）$(1+i)(2-i)=(\quad)$

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是 

4．（5分）若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$

5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 ，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15 ，则不用现金支付的概率为（）

6．（5分）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\tan \mathrm{x}}{1+\tan ^{2} \mathrm{x}}$ 的最小正周期为（ ）

7．（5分）下列函数中，其图象与函数 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=1$ 对称的是（ ）

8．（5分）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A$ ，$B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是（）

9．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

10．（5分）已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点（4 ，0）到 C 的渐近线的距离为（ ）

11．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}}{4}$ ，则 $\mathrm{C}=(\quad)$

12．（5分）设 $A, B, C, D$ 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为（）

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,-2), \vec{c}=(1, \lambda)$ ．若 $\vec{c} \|(2 \vec{a}+\vec{b}$ ），则 $\lambda=-\frac{1}{2}$ —。

14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 －为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 $\_\_\_\_$分层抽样。

15．（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y+3 \geqslant 0 \\ x-2 y+4 \geqslant 0 \\ x-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=x+\frac{1}{3} y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ 3

16．（5分）已知函数 $f(x)=\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, f(a)=4$ ，则 $f(-a)=-2$

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： | 第一种生产方式 | | 第二种生产方式 | | :--- | :--- | :--- | | $\begin{array}{llllllllll} 9 & 8 & 7 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ & & & & & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}$ | | 6 5 5 6 8 9 <br> 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 <br> 8 1 4 4 5 <br> 9 0 | （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表： | | 超过m | 不超过m | | :--- | :--- | :--- | | 第一种生产方式 | | | | 第二种生产方式 | | | （3）根据②中的列联表，能否有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ， | $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

19．（12分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 $\widehat{\mathrm{CD}}$ 所在平面垂直， M 是 $\widehat{\mathrm{CD}}$ 上异于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的点． （1）证明：平面 $\mathrm{AMD} \perp$ 平面 BMC ； （2）在线段 $A M$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M C \|$ 平面 $P B D$ ？说明理由． 

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $\mid$ 与椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $\mathrm{M}(1, \mathrm{~m})(\mathrm{m}>0)$ ． （1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ； ②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ，证明： $2|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|+\mid \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ I．

21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{a x^{2}+x-1}{e^{x}}$ ． （1）求曲线 $y=f(x)$ 在点（0，－1）处的切线方程； （2）证明：当 $a \geq 1$ 时，$f(x)+e \geq 0$ ．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，$\odot \mathrm{O}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\cos \theta \\ \mathrm{y}=\sin \theta\end{array}\right.$ ，（ $\theta$ 为参数），过点 $(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点． （1）求 $\alpha$ 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．

23．设函数 $f(x)=|2 x+1|+|x-1|$ ． （1）画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象； （2）当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$f(x) \leq a x+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．