（15 分）如图，已知四棱锥 P-A B C D, ~ P…——2017 高考数学第 19 题答案解析

【分析】（ I）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角系，利用向量法能证明 CE／／平面 PAB．
（II）求出平面 PBC 的法向量和 $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$ ，利用向量法能求出直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．

【解答】证明：（I）∵ 四棱锥 $P-A B C D, \triangle P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，
$B C / / A D, C D \perp A D, P C=A D=2 D C=2 C B, E$ 为 $P D$ 的中点，
∴ 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立
空间直角系，
设 $P C=A D=2 D C=2 C B=2$ ，
则 $C(0,1,0), D(0,0,0), P(1,0,1), E\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right), A(2,0,0)$ ，
B（ $1,1,0$ ），
$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\left(\frac{1}{2},-1, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{PA}}=(1,0,-1), \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(0,1,-1)$ ，
设平面 PAB 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}=x-z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~PB}}=y-z=0\end{array}\right.$ ，取 $z=1$ ，得 $\vec{n}=(1,1,1)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0, \mathrm{CE} \not \subset$ 平面 PAB ，
$\therefore \mathrm{CE} / /$ 平面 PAB ．
解：（II） $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=(-1,1,-1)$ ，设平面 PBC 的法向量 $\vec{\Pi}=(a, b, c)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=b-c=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=-a+b-c=0\end{array}\right.$ ，取 $b=1$ ，得 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(0,1,1)$ ，
设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 $\theta$ ，
则 $\sin \theta=|\cos <\overrightarrow{\mathrm{CE}}, ~ \vec{\pi}>|=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{m}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CE}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{m}}| \mid}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{6}{4}} \cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．
∴ 直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．