（10分）在平面直角坐标系xOy中， O 的参数方程为 a…——2018 高考数学第 22 题答案解析

【考点】 QK ：圆的参数方程．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】①$\odot \mathrm{O}$ 的普通方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ ，圆心为 $\mathrm{O}(0,0)$ ，半径 $r=1$ ，当 $\alpha= \frac{\pi}{2}$ 时，直线 $l$ 的方程为 $x=0$ ，成立；当 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$ 时，过点 $(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 的方程为 $y=\tan \alpha \cdot x+\sqrt{2}$ ，从而圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d= \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha}}<1$ ，进而求出 $\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3 \pi}{4}$ ，由此能求出 $\alpha$ 的取值范围。
（2）设直线 $l$ 的方程为 $x=m(y+\sqrt{2})$ ，联立 $\left\{\begin{array}{l}x=m(y+\sqrt{2}) \\ x^{2}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，得 $\left(m^{2}+1\right) y^{2}+2 \sqrt{2} m^{2} y^{+2} m^{2}-1=0$ ，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）$\because \odot 0$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）， $\therefore \bigodot O$ 的普通方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ ，圆心为 $O(0,0)$ ，半径 $r=1$ ，当 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 时，过点 $(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{x}=0$ ，成立；当 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$ 时，过点 $(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{y}=\tan \alpha \cdot \mathrm{x}-\sqrt{2}$ ， ∵ 倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点， ∴ 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha}}<1$ ，

$\therefore \tan ^{2} \alpha>1, \therefore \tan \alpha>1$ 或 $\tan \alpha<-1$ ，
$\therefore \frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3 \pi}{4}$,
综上 $\alpha$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ ．
（2）由①知直线 $l$ 的斜率不为 0 ，设直线 $l$ 的方程为 $x=m(y+\sqrt{2})$ ，
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(B\left(x_{2}, y_{2}\right), P\left(x_{3}, y_{3}\right)\right.$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}x=m(y+\sqrt{2}) \\ x^{2}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，得 $\left(m^{2}+1\right) y^{2}+2 \sqrt{2} m^{2} y^{+2} m^{2}-1=0$ ，
$\left\{\begin{array}{l}y_{1}+y_{2}=-\frac{2 \sqrt{2} m^{2}}{m^{2}+1} \\ y_{1} y_{2}=\frac{2 m^{2}-1}{m^{2}+1}\end{array}\right.$,
$x_{1}+x_{2}=m\left(y_{1}+\sqrt{2}\right)+m\left(y_{2}+\sqrt{2}\right)=-\frac{2 \sqrt{2} m^{3}}{m^{2}+1}+2 \sqrt{2} \pi$ ，
$x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{\sqrt{2} m}{m^{2}+1}, \quad y_{3}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2} m^{2}}{m^{2}+1}$,
$\therefore A B$ 中点 $P$ 的轨迹的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2} m}{m^{2}+1} \\ y=\frac{\sqrt{2} m^{2}}{m^{2}+1}\end{array} \quad(m\right.$ 为参数 $), \quad(-1【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．