（5分） a, b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三…——2017 高考数学第 16 题答案解析

【考点】 MI ：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离

【分析】由题意知，$a , b , A C$ 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1 的正方体，$|A C|=1,|A B|=\sqrt{2}$ ，斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴，则 $A$ 点保持不变，$B$ 点的运动轨迹是以 $C$ 为圆心， 1 为半径的圆，以 $C$ 坐标原点，以 $C D$ 为 $x$ 轴 ， CB 为 y 轴， CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果。

【解答】解：由题意知，$a , b , A C$ 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，
故 $|A C|=1,|A B|=\sqrt{2}$, 、
斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴，则 $A$ 点保持不变，
$B$ 点的运动轨迹是以 $C$ 为圆心， 1 为半径的圆，
以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴， CB 为 y 轴， CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 $D(1,0,0), A(0,0,1)$ ，直线 $a$ 的方向单位向量 $\vec{a}=(0,1,0),|\vec{a}|=$ 1，

直线 b 的方向单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{b}}=(1,0,0),|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1$ ，
设 B 点在运动过程中的坐标中的坐标 $\mathrm{B}^{\prime}(\cos \theta, \sin \theta, 0)$ ，
其中 $\theta$ 为 $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}$ 与 CD 的夹角，$\theta \in[0,2 \pi$ ），
$\therefore \mathrm{AB}^{\prime}$ 在运动过程中的向量， $\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}=(\cos \theta, \sin \theta,-1),\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}\right|=\sqrt{2}$ ，
设 $\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 所成夹角为 $\alpha \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，
则 $\cos \alpha=\frac{|(-\cos \theta,-\sin \theta, 1) \cdot(0,1,0)|}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\sin \theta| \in\left[0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ ，
$\therefore \alpha \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right], \therefore$（3）正确，④错误。
设 $\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 所成夹角为 $\beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，
$\cos \beta=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}=\frac{|(-\cos \theta, \sin \theta, 1) \cdot(1,0,0)|}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos \theta|$,
当 $\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 夹角为 $60^{\circ}$ 时，即 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ ，
$|\sin \theta|=\sqrt{2} \cos \alpha=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\because \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1, \quad \therefore \cos \beta=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos \theta|=\frac{1}{2}$ ，
$\because \beta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \therefore \beta=\frac{\pi}{3}$ ，此时 $\overrightarrow{\mathrm{AB}^{\prime}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，
∴（2）正确，①错误。
故答案为：②③．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．