2017 新课标 III 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}, B=\{(x, y) \mid y=x\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2 i$ ，则 $|z|=$

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论错误的是（）

4．（5分）$(x+y)(2 x-y)^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} y^{3}$ 系数为（ ）

5．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y= \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有公共焦点，则 $C$ 的方程为（ ）

6．（5分）设函数 $f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，则下列结论错误的是

7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91 ，则输入的正整数 N 的最小值为（ ）

8．（5分）已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

9．（5分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 1 ，公差不为 0 ．若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 6 项的和为（ ）

10．（5分）已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为（ ）

11．（5分）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+a\left(e^{x-1}+e^{-x+1}\right)$ 有唯一零点，则 $a=$（ ）

12．（5分）在矩形 ABCD 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AD}=2$ ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mu \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ，则 $\lambda+\mu$ 的最大值为（）

13．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ x+y-2 \leqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3 x-4 y$ 的最小值为 -1 ．

14．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=-1, a_{1}-a_{3}=-3$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ －8 ．

15．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^{x}, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$ ．

16．（5分）$a, b$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $A B C$ 的直角边 $A C$ 所在直线与 $a, b$ 都垂直，斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $30^{\circ}$ 角；
②当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $60^{\circ}$ 角；
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $45^{\circ}$ ；
④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $60^{\circ}$ ；
其中正确的是 $\_\_\_\_$ ②③ ．（填写所有正确结论的编号）

17．（12分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=0$ ，$a=2 \sqrt{7}, b=2$ ．
（1）求c；
②设 D 为 BC 边上一点，且 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{AC}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABD}$ 的面积．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ）有关。如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间［20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表 ：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体 $A B C D$ 中，$\triangle A B C$ 是正三角形，$\triangle A C D$ 是直角三角形， $\angle A B D=\angle C B D, A B=B D$ ．

（1）证明：平面 $A C D \perp$ 平面 $A B C$ ；
（2）过 $A C$ 的平面交 $B D$ 于点 $E$ ，若平面 $A E C$ 把四面体 $A B C D$ 分成体积相等的两部分 ，求二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 的余弦值。

21．（12分）已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ ．
（1）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；
②设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n, ~\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线 $I_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=k t\end{array}\right.$ ，（ $t$ 为参数） ，直线 $\mathrm{I}_{2}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+\mathrm{m} \\ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}\end{array}\right.$ ，（ m 为参数）。设 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C ．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $\mathrm{I}_{3}: \rho(\cos \theta+\sin \theta$ ）$-\sqrt{2}=0, M$ 为 $I_{3}$ 与 $C$ 的交点，求 $M$ 的极径．

23．已知函数 $f(x)=|x+1|-|x-2|$ ．
（1）求不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集；
（2）若不等式 $f(x) \geq x^{2}-x+m$ 的解集非空，求 $m$ 的取值范围。